Calcule o seguinte limite.
lim x 2 x^4-16x^3-8

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto 2 x^4-16x^3-8. Esse é um problema de cálculo de limite de função racional, onde vamos precisar usar fatoração para eliminar a indeterminação.

Passo 2

Se fizermos a substituição direta x=2, obtemos 2^4-16=0 no numerador e 2^3-8=0 no denominador, ou seja, temos a forma indeterminada 0/0. Por isso, precisamos fatorar as expressões.

Passo 3

O numerador x^4-16 é uma diferença de quadrados duas vezes:
x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)=(x-2)(x+2)(x^2+4)
O denominador x^3-8 é uma diferença de cubos:
x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)

Passo 4

Agora podemos escrever a fração original como
x^4-16x^3-8=(x-2)(x+2)(x^2+4)(x-2)(x^2+2x+4)
Como xneq 2 no processo de limite, podemos cancelar o fator (x-2).

Passo 5

Após o cancelamento, fica a função simplificada
(x+2)(x^2+4)x^2+2x+4
Agora substituímos x=2: o numerador vale (2+2)(2^2+4)=4cdot8=32 e o denominador vale 2^2+2cdot2+4=4+4+4=12.

Resposta

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