Calcule o seguinte limite:
lim x 3 (2 x-3)^2-9(2 x-3)^3-27

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite limxto3(2x-3)^2-9(2x-3)^3-27. O conteúdo envolvido é limite de função do tipo 0/0, e vamos usar fatoração de polinômios (diferença de quadrados e de cubos) para simplificar.

Passo 2

Para facilitar a fatoração, definimos a nova variável t = 2x - 3. Quando x to 3, tem-se t to 3. Assim o limite fica limtto3t^2-9t^3-27.

Passo 3

Observamos que os polinômios no numerador e denominador podem ser fatorados:
t^2 - 9 = (t - 3)(t + 3)
t^3 - 27 = (t - 3)(t^2 + 3t + 9)

Passo 4

Como em torno de t=3 temos tneq3 no limite, podemos cancelar o fator comum t-3. O limite reduz-se a
limtto3 t+3t^2 + 3t + 9

Passo 5

Agora basta substituir t=3 na expressão simplificada:
3 + 33^2 + 3cdot3 + 9 = 69 + 9 + 9 = 627 = 29

Resposta

tfrac29

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