Seja
uma função contínua e derivável até à segunda ordem em
para todo o
. Alguns dos pontos do gráfico de
estão listados na tabela abaixo
|
0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 |
---|---|---|---|---|---|
|
1 | 1.25 | 2 | 3.25 | 5 |
Diga, justificando, qual das seguintes afirmações representa uma melhor aproximação para
?
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função
que é contínua e tem derivadas até a segunda ordem no intervalo
. A segunda derivada
é sempre maior que zero nesse intervalo, o que significa que a função é côncava para cima (ou convexa). Além disso, temos alguns valores de
para
. Queremos descobrir qual das opções de intervalos é a melhor aproximação para a derivada primeira
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada primeira
nos dá a inclinação da função naquele ponto. Como a função é convexa (
), sabemos que
está aumentando conforme
aumenta. Isso significa que a inclinação da função fica mais íngreme à medida que nos movemos para a direita no gráfico.
Passo 3
Para estimar
, podemos usar a diferença central, que é uma maneira de aproximar a derivada usando os valores ao redor de
. A fórmula da diferença central é:
Então, a estimativa central nos dá
.
Passo 4
Mas como a função é convexa,
está aumentando. Isso significa que a derivada real em
será maior que a estimativa central. Então,
.
Resposta
A melhor aproximação para
é
. Portanto, a opção (e) está correta.