Seja f uma função contínua e derivável até à segunda ordem em ] 0,2[com f^prime prime(x)>0 para todo o x in] 0,2[. Alguns dos pontos do gráfico de f estão listados na tabela abaixo
x 0 0.5 1 1.5 2
f(x) 1 1.25 2 3.25 5
Diga, justificando, qual das seguintes afirmações representa uma melhor aproximação para f^prime(1) ?
(a) f^prime(1)<2.
(b) 0.5.
© 1.5.
(d) 2.5.
(e) f^prime(1)>2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função que é contínua e tem derivadas até a segunda ordem no intervalo . A segunda derivada é sempre maior que zero nesse intervalo, o que significa que a função é côncava para cima (ou convexa). Além disso, temos alguns valores de para . Queremos descobrir qual das opções de intervalos é a melhor aproximação para a derivada primeira .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada primeira nos dá a inclinação da função naquele ponto. Como a função é convexa ( ), sabemos que está aumentando conforme aumenta. Isso significa que a inclinação da função fica mais íngreme à medida que nos movemos para a direita no gráfico.

Passo 3

Para estimar f'(1) approx f(1.5) - f(0.5)1.5 - 0.5 = 3.25 - 1.251 = 21 = 2 , podemos usar a diferença central, que é uma maneira de aproximar a derivada usando os valores ao redor de . A fórmula da diferença central é:
Então, a estimativa central nos dá .

Passo 4

Mas como a função é convexa, está aumentando. Isso significa que a derivada real em será maior que a estimativa central. Então, .

Resposta

A melhor aproximação para é . Portanto, a opção (e) está correta.

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