Pretende-se fazer uma lata cilíndrica com capacidade
. Sabendo que o material para a base e para o topo tem o preço de
e o preço para o material lateral tem o custo de
, determine as dimensões da lata mais económica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo! A gente quer construir uma lata cilíndrica que tem a capacidade de
. O objetivo é descobrir quais devem ser o raio e a altura dessa lata para que o custo do material seja o menor possível. Vamos usar conhecimentos de geometria e otimização para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o volume de um cilindro é dado por:
Onde:
-
é o volume, -
é o raio da base, -
é a altura.
Sabemos que o volume é
, então:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Daqui, podemos expressar a altura
em função do raio
:
Passo 3
Agora, vamos calcular o custo do material utilizado para construir a lata. A lata tem três partes: base, topo e lateral.
- Área da base:
- Área do topo: Igual à área da base, então
- Área lateral:
Os preços são:
- Base e topo:
- Lateral:
Mas atenção! As áreas estão em centímetros quadrados e os preços em euros por metro quadrado. Precisamos converter centímetros quadrados para metros quadrados:
Passo 4
Expressando as áreas em metros quadrados:
Agora, o custo total
é:
Simplificando:
Passo 5
Substituindo
por
na equação do custo:
Simplificando:
Passo 6
Para encontrar o mínimo custo, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, encontramos
. Vamos encontrar a altura
:
Resposta
As dimensões da lata mais econômica são:
- Raio:
- Altura: