Pretende-se fazer uma lata cilíndrica com capacidade 20 pi cm^3. Sabendo que o material para a base e para o topo tem o preço de 10 € / m^2 e o preço para o material lateral tem o custo de 8 € / m^2, determine as dimensões da lata mais económica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo! A gente quer construir uma lata cilíndrica que tem a capacidade de 20pi , cm^3. O objetivo é descobrir quais devem ser o raio e a altura dessa lata para que o custo do material seja o menor possível. Vamos usar conhecimentos de geometria e otimização para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o volume de um cilindro é dado por:
V = pi r^2 h
Onde:
  • pi r^2 h = 20pi é o volume,
  • r^2 h = 20 é o raio da base,
  • h = 20r^2 é a altura.
Sabemos que o volume é , então:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :
Daqui, podemos expressar a altura em função do raio :

Passo 3

Agora, vamos calcular o custo do material utilizado para construir a lata. A lata tem três partes: base, topo e lateral.
  • Área da base: 1 , m^2 = 10,000 , cm^2
  • Área do topo: Igual à área da base, então
  • Área lateral:
Os preços são:
  • Base e topo:
  • Lateral:
Mas atenção! As áreas estão em centímetros quadrados e os preços em euros por metro quadrado. Precisamos converter centímetros quadrados para metros quadrados:

Passo 4

Expressando as áreas em metros quadrados:
Abase = pi r^210,000 , m^2
Atopo = pi r^210,000 , m^2
Alateral = 2pi r h10,000 , m^2
Agora, o custo total C = 2 times (10) times pi r^210,000 + 8 times 2pi r h10,000 é:
C = 20pi r^210,000 + 16pi r h10,000
Simplificando:
C = pi r^2500 + 4pi r h2,500

Passo 5

Substituindo C = pi r^2500 + 4pi r ( 20r^2 )2,500 por C = pi r^2500 + 80pi2,500 r na equação do custo:
C = pi r^2500 + 32pi1,000 r
Simplificando:

Passo 6

Para encontrar o mínimo custo, derivamos dCdr = 2pi r500 - 32pi1,000 r^2 = 0 em relação a pi r250 = 32pi1,000 r^2 e igualamos a zero:
4 r^3 = 32
Simplificando:
r^3 = 8
Multiplicando ambos os lados por r = 2 , cm :

Passo 7

Agora, encontramos h = 20r^2 = 204 = 5 , cm . Vamos encontrar a altura :

Resposta

As dimensões da lata mais econômica são:
  • Raio:
  • Altura:

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