Calcule o seguinte limite:
lim x 3 (2 x-3)^2-9x-3

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto 3(2x-3)^2-9x-3. O conteúdo envolve limites de funções racionais e a técnica principal será fatoração e cancelamento de fatores.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o quadrado (2x-3)^2. Sabemos que (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, logo:
(2x-3)^2=4x^2-12x+9

Passo 3

Em seguida, substituímos na expressão do limite e simplificamos o numerador:
(2x-3)^2-9=(4x^2-12x+9)-9=4x^2-12x=4x(x-3)
Aqui usamos fator comum em 4x^2-12x, reconhecendo que ambos os termos têm 4x.

Passo 4

Agora a expressão do limite fica
(2x-3)^2-9x-3=4x(x-3)x-3
Como xneq3 no processo de limite, podemos cancelar o fator x-3, restando 4x.

Passo 5

Por fim, aplicamos a definição de limite por substituição contínua, avaliando em x=3:
limxto34x=4cdot3=12

Resposta

12

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