Calcule o seguinte limite.
lim x 0^+[x^3 cos (x^2)-e^xx]

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular limxto0^+l[x^3cos(x^2)-tfrace^xxr]. O conteúdo é limites de funções usando séries de Taylor para aproximar as funções envolvidas.

Passo 2

Começamos expandindo cos(x^2) em Taylor até termos relevantes:
cos(x^2)=1-x^42+O(x^8)
Multiplicando por x^3 obtemos
x^3cos(x^2)=x^3-x^72+O(x^11)

Passo 3

Agora expandimos e^x e dividimos por x:
e^x=1+x+x^22+x^36+O(x^4),
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e^xx=1x+1+x2+x^26+O(x^3)

Passo 4

Fazendo a diferença das expansões:
x^3cos(x^2)-e^xx=-1x-1-x2+O(x^2)

Passo 5

Quando xto0^+, o termo dominante -1/x tende a -infty. Portanto o limite diverge para menos infinito.

Resposta

-\infty

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