Uma esfera sólida de raio 2 é perfurada diametralmente por uma broca cilíndrica de raio 1. Determine o volume do sólido resultante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre uma esfera sólida com raio 2 que foi perfurada diametralmente por uma broca cilíndrica de raio 1. Nosso objetivo é descobrir o volume do sólido que sobra após essa perfuração. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria, especificamente fórmulas de volume para esferas e cilindros.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume da esfera original. A fórmula para o volume de uma esfera é:
Onde $ r $ é o raio da esfera. No nosso caso, $ r = 2 $.
Passo 3
Agora, vamos calcular o volume do cilindro que perfurou a esfera. A fórmula para o volume de um cilindro é:
Aqui, $ r $ é o raio do cilindro, que é 1, e $ h $ é a altura do cilindro. Mas precisamos encontrar a altura do cilindro que passa pela esfera.
Passo 4
Para encontrar a altura $ h $ do cilindro, podemos pensar na esfera e no cilindro formando um triângulo retângulo, onde o raio da esfera é a hipotenusa, o raio do cilindro é um dos catetos e metade da altura é o outro cateto.
Usando o teorema de Pitágoras:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora que temos a altura do cilindro, vamos calcular seu volume:
Passo 6
Porém, para encontrar o volume do sólido resultante após a perfuração, não basta apenas subtrair o volume do cilindro da esfera. Precisamos considerar que, ao perfurar a esfera, também estamos removendo duas “capas” esféricas nas extremidades do cilindro. O volume dessas capas é dado por:
Onde $ R $ é o raio da esfera e $ h $ é a altura das capas. Neste caso, $ h = 2\sqrt{3} $ e $ R = 2 $.
Passo 7
Vamos calcular o volume das capas:
Passo 8
Agora, vamos calcular o volume total removido, que é a soma do volume do cilindro e das capas:
Passo 9
Finalmente, para encontrar o volume do sólido resultante, subtraímos o volume removido do volume original da esfera:
Resposta
O volume do sólido resultante após a perfuração é: