Uma esfera sólida de raio 2 é perfurada diametralmente por uma broca cilíndrica de raio 1. Determine o volume do sólido resultante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre uma esfera sólida com raio 2 que foi perfurada diametralmente por uma broca cilíndrica de raio 1. Nosso objetivo é descobrir o volume do sólido que sobra após essa perfuração. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria, especificamente fórmulas de volume para esferas e cilindros.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume da esfera original. A fórmula para o volume de uma esfera é:
Vesfera = 43 pi r^3
Onde $ r $ é o raio da esfera. No nosso caso, $ r = 2 $.
r

Passo 3

Agora, vamos calcular o volume do cilindro que perfurou a esfera. A fórmula para o volume de um cilindro é:
Vcilindro = pi r^2 h
Aqui, $ r $ é o raio do cilindro, que é 1, e $ h $ é a altura do cilindro. Mas precisamos encontrar a altura do cilindro que passa pela esfera.

Passo 4

Para encontrar a altura $ h $ do cilindro, podemos pensar na esfera e no cilindro formando um triângulo retângulo, onde o raio da esfera é a hipotenusa, o raio do cilindro é um dos catetos e metade da altura é o outro cateto.
Usando o teorema de Pitágoras:
h
Substituindo os valores:
resfera^2 = rcilindro^2 + (h2)^2
(2)^2 = (1)^2 + (h2)^2
4 = 1 + h^24
4 - 1 = h^24
3 = h^24
h^2 = 12

Passo 5

Agora que temos a altura do cilindro, vamos calcular seu volume:
Vcilindro = pi (1)^2 times 2raiz3 = pi times 1 times 2raiz3 = 2raiz3 pi

Passo 6

Porém, para encontrar o volume do sólido resultante após a perfuração, não basta apenas subtrair o volume do cilindro da esfera. Precisamos considerar que, ao perfurar a esfera, também estamos removendo duas “capas” esféricas nas extremidades do cilindro. O volume dessas capas é dado por:
Vcapas = pi h^23 (3R - h)
Onde $ R $ é o raio da esfera e $ h $ é a altura das capas. Neste caso, $ h = 2\sqrt{3} $ e $ R = 2 $.

Passo 7

Vamos calcular o volume das capas:
Vcapas = pi (2raiz3)^23 (3 times 2 - 2raiz3)
Vcapas = pi times 123 (6 - 2raiz3)
Vcapas = 4pi (6 - 2raiz3)
Vcapas = 24pi - 8raiz3pi

Passo 8

Agora, vamos calcular o volume total removido, que é a soma do volume do cilindro e das capas:
Vremovido = Vcilindro + Vcapas
Vremovido = 2raiz3pi + 24pi - 8raiz3pi
Vremovido = 24pi - 6raiz3pi

Passo 9

Finalmente, para encontrar o volume do sólido resultante, subtraímos o volume removido do volume original da esfera:
Vresu
Vresu
Vresu
Vresu
Vresu
Vresu
Vresu

Resposta

O volume do sólido resultante após a perfuração é:
V = 6raiz3pi - 403pi unidades cúbicas ú

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