Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado é
. Aqui, estamos lidando com uma integral definida, que faz parte do conteúdo de Cálculo Integral. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar substituição adequada para simplificar a expressão e calcular o valor final.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o numerador e o denominador da fração dentro da integral: temos
no numerador e
no denominador. Quando vemos uma expressão assim, uma boa dica é usar a substituição para simplificar a integral. Vamos definir uma nova variável
relacionada ao que está dentro da raiz.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
. Isso significa que
representa a parte dentro da raiz. Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
para substituir
na integral. Derivando, temos:
Passo 4
Agora, observamos que na nossa integral original temos
. Da equação acima, podemos resolver
em termos de
:
Substituindo na integral, ficamos com:
Passo 5
A integral
é uma integral básica que resulta em
. Então, multiplicando pelo
que factoramos, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, voltamos à variável original
substituindo
:
Portanto, a antiderivada da nossa função é
.
Passo 7
Como a integral é definida de
a
, vamos calcular os valores nos limites e subtrair:
Passo 8
Calculando cada termo:
Resposta
O valor da integral é
.