integral-5^-3 x d xraizx^2-9

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado é integral-5^-3 x , dxraizx^2-9. Aqui, estamos lidando com uma integral definida, que faz parte do conteúdo de Cálculo Integral. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar substituição adequada para simplificar a expressão e calcular o valor final.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador e o denominador da fração dentro da integral: temos x no numerador e raizx^2-9 no denominador. Quando vemos uma expressão assim, uma boa dica é usar a substituição para simplificar a integral. Vamos definir uma nova variável u relacionada ao que está dentro da raiz.

Passo 3

Vamos fazer a substituição u = x^2 - 9. Isso significa que u representa a parte dentro da raiz. Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a x para substituir dx na integral. Derivando, temos:
dudx = 2x implies du = 2x , dx

Passo 4

Agora, observamos que na nossa integral original temos x , dx. Da equação acima, podemos resolver x , dx em termos de du:
x , dx = du2
Substituindo na integral, ficamos com:
integral x , dxraizx^2-9 = integral du2raizu = 12 integral duraizu

Passo 5

A integral integral duraizu é uma integral básica que resulta em 2raizu. Então, multiplicando pelo 12 que factoramos, temos:
12 cdot 2raizu = raizu + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, voltamos à variável original x substituindo u = x^2 - 9:
raizu = raizx^2 - 9
Portanto, a antiderivada da nossa função é raizx^2 - 9 + C.

Passo 7

Como a integral é definida de -5 a -3, vamos calcular os valores nos limites e subtrair:
[ raizx^2 - 9 ]-5^-3 = raiz(-5)^2 - 9 - raiz(-3)^2 - 9

Passo 8

Calculando cada termo:
raiz25 - 9 = raiz16 = 4
raiz9 - 9 = raiz0 = 0

Resposta

O valor da integral é 4.

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