Encontre a solução do problema de valor inicial
y^prime+2 t y=6 t, y(0)=5

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial para resolver uma equação diferencial de primeira ordem. A equação é:
y^prime + 2t , y = 6t, y(0) = 5
Isso significa que queremos achar a função $ y(t) $ que satisfaz essa equação e que passa pelo ponto $ y(0) = 5 $. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica comum para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
y^prime + P(t) , y = Q(t)
Aqui, $ P(t) = 2t $ e $ Q(t) = 6t $. O próximo passo é encontrar o fator integrante, $ \mu(t) $, que é dado por:
P(t) = 2t
Vamos calcular essa integral.

Passo 3

Calculando a integral de $ P(t) = 2t $:
P(t) = 2t
Como estamos procurando o fator integrante, podemos ignorar a constante $ C $. Assim, o fator integrante fica:
integral 2t , dt = t^2 + C

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(t) $:
mu(t)
Isso simplifica a equação para:
e^t^2 , y^prime + e^t^2 cdot 2t , y = e^t^2 cdot 6t
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que transforma a equação em uma derivada total.

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a $ t $:
t
A integral do lado esquerdo simplifica para:
integral ddt ( e^t^2 , y ) , dt = integral 6t , e^t^2 , dt

Passo 6

Vamos resolver a integral do lado direito. Faça uma substituição $ u = t^2 $, então $ du = 2t , dt $. Isso nos ajuda a simplificar:
u = t^2

Passo 7

Substituindo de volta na equação:
e^t^2 , y = 3 e^t^2 + C
Agora, resolvemos para $ y $:
y

Passo 8

Usamos a condição inicial $ y(0) = 5 $ para encontrar $ C $:
y(0) = 5

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = 3 + 2 , e^-t^2

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