Encontre a solução do problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial para resolver uma equação diferencial de primeira ordem. A equação é:
Isso significa que queremos achar a função $ y(t) $ que satisfaz essa equação e que passa pelo ponto $ y(0) = 5 $. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica comum para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Aqui, $ P(t) = 2t $ e $ Q(t) = 6t $. O próximo passo é encontrar o fator integrante, $ \mu(t) $, que é dado por:
Vamos calcular essa integral.
Passo 3
Calculando a integral de $ P(t) = 2t $:
Como estamos procurando o fator integrante, podemos ignorar a constante $ C $. Assim, o fator integrante fica:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(t) $:
Isso simplifica a equação para:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que transforma a equação em uma derivada total.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ t $:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Passo 6
Vamos resolver a integral do lado direito. Faça uma substituição $ u = t^2 $, então $ du = 2t , dt $. Isso nos ajuda a simplificar:
Passo 7
Substituindo de volta na equação:
Agora, resolvemos para $ y $:
Passo 8
Usamos a condição inicial $ y(0) = 5 $ para encontrar $ C $:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: