Calcule o seguinte limite.
lim x -infty x(raizx^2-1-x)

Passo 1

O enunciado pede o limite limxto -infty xl(raizx^2-1-xr). O conteúdo aqui é limites envolvendo radicais e vamos precisar usar a técnica de racionalização (conjugado) para simplificar a expressão.

Passo 2

Aplicamos racionalização em raizx^2-1-x. Multiplicando numerador e denominador por raizx^2-1+x obtemos
raizx^2-1-x=(x^2-1)-x^2raizx^2-1+x=-1raizx^2-1+x
Logo
xl(raizx^2-1-xr)=-xraizx^2-1+x

Passo 3

Para lidar com o sinal de x em raizx^2-1, usamos raizx^2-1=|x|raiz1-1/x^2. Como xto -infty, |x|=-x. Assim
raizx^2-1+x=-xraiz1-1/x^2+x=xl(1-raiz1-1/x^2r)
e portanto
xl(raizx^2-1-xr)=-xxl(1-raiz1-1/x^2r)=-11-raiz1-1/x^2

Passo 4

Agora, quando xto -infty, o termo raiz1-1/x^2to1. Logo o denominador 1-raiz1-1/x^2to0^+, e
-11-raiz1-1/x^2to-infty

Resposta

-∞

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