O Capitão Astro está em perigo na órbita de Mercúrio. Ele está na posição
e a temperatura à qual sua espaçonave está submetida é dada por
graus Celsius. Que direção ele deve tomar para perder temperatura o mais rápido possível ?
Passo 1
Então, vamos lá! O Capitão Astro está em uma posição específica na órbita de Mercúrio, dada por
. A temperatura que a espaçonave dele está enfrentando é descrita pela função
graus Celsius. A pergunta é: em qual direção ele deve se mover para que a temperatura diminua o mais rapidamente possível? Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente de uma função, que nos indica a direção de maior aumento da função. Porém, como queremos a direção de maior diminuição, vamos olhar para a direção oposta ao gradiente.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função multivariável, como a temperatura
, é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. Ele é composto pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. Matematicamente, é representado como:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
-
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente
no ponto
substituindo os valores de
,
e
.
Primeiro, calculamos o valor de
em
:
Agora, calculamos cada componente do gradiente:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Então, o gradiente no ponto
é:
Passo 5
Como queremos a direção em que a temperatura diminui o mais rápido, devemos seguir a direção oposta ao gradiente. Portanto, a direção desejada é:
No entanto, geralmente nos interessa apenas a direção e não a magnitude do vetor. Para isso, vamos normalizar o vetor, ou seja, dividir cada componente pela magnitude do vetor.
A magnitude de
é:
Portanto, a direção normalizada é:
Resposta
O Capitão Astro deve se mover na direção do vetor
para que a temperatura em sua espaçonave diminua o mais rapidamente possível.