O Capitão Astro está em perigo na órbita de Mercúrio. Ele está na posição P0=(-2,-5,-7) e a temperatura à qual sua espaçonave está submetida é dada por T(x, y, z)=e^(-x^2-2 y^2-3 z^2) graus Celsius. Que direção ele deve tomar para perder temperatura o mais rápido possível ?

Passo 1

Então, vamos lá! O Capitão Astro está em uma posição específica na órbita de Mercúrio, dada por P0=(-2,-5,-7). A temperatura que a espaçonave dele está enfrentando é descrita pela função T(x, y, z)=e^(-x^2-2 y^2-3 z^2) graus Celsius. A pergunta é: em qual direção ele deve se mover para que a temperatura diminua o mais rapidamente possível? Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente de uma função, que nos indica a direção de maior aumento da função. Porém, como queremos a direção de maior diminuição, vamos olhar para a direção oposta ao gradiente.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função multivariável, como a temperatura T(x, y, z), é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. Ele é composto pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. Matematicamente, é representado como:
nabla T = ( partial Tpartial x, partial Tpartial y, partial Tpartial z )

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de T(x, y, z)=e^(-x^2-2 y^2-3 z^2) em relação a x, y e z.
  • Derivada parcial em relação a x:
    partial Tpartial x = e^(-x^2-2 y^2-3 z^2) cdot (-2x)
  • Derivada parcial em relação a y:
    partial Tpartial y = e^(-x^2-2 y^2-3 z^2) cdot (-4y)
  • Derivada parcial em relação a z:
    partial Tpartial z = e^(-x^2-2 y^2-3 z^2) cdot (-6z)

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente nabla T no ponto P0=(-2,-5,-7) substituindo os valores de x, y e z.
Primeiro, calculamos o valor de T em P0:
T(-2,-5,-7) = e^-(-2)^2 -2(-5)^2 -3(-7)^2 = e^-4 -50 -147 = e^-201
Agora, calculamos cada componente do gradiente:
  • Para x = -2:
    partial Tpartial x = e^-201 cdot (-2 cdot -2) = e^-201 cdot 4
  • Para y = -5:
    partial Tpartial y = e^-201 cdot (-4 cdot -5) = e^-201 cdot 20
  • Para z = -7:
    partial Tpartial z = e^-201 cdot (-6 cdot -7) = e^-201 cdot 42
Então, o gradiente no ponto P0 é:
nabla T = (4e^-201, 20e^-201, 42e^-201)

Passo 5

Como queremos a direção em que a temperatura diminui o mais rápido, devemos seguir a direção oposta ao gradiente. Portanto, a direção desejada é:
-nabla T = (-4e^-201, -20e^-201, -42e^-201)
No entanto, geralmente nos interessa apenas a direção e não a magnitude do vetor. Para isso, vamos normalizar o vetor, ou seja, dividir cada componente pela magnitude do vetor.
A magnitude de -nabla T é:
|-nabla T| = raiz(-4e^-201)^2 + (-20e^-201)^2 + (-42e^-201)^2 = e^-201 raiz16 + 400 + 1764 = e^-201 raiz2180 = e^-201 cdot raiz4 cdot 545 = 2e^-201 raiz545
Portanto, a direção normalizada é:
( -4e^-2012e^-201raiz545, -20e^-2012e^-201raiz545, -42e^-2012e^-201raiz545 ) = ( -2raiz545, -10raiz545, -21raiz545 )

Resposta

O Capitão Astro deve se mover na direção do vetor ( dfrac-2raiz545, dfrac-10raiz545, dfrac-21raiz545 ) para que a temperatura em sua espaçonave diminua o mais rapidamente possível.

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