Calcule o seguinte limite:
lim x -1 raiz[3]x+1x+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto -1 raiz[3]x+1x+1. O conteúdo envolvido é cálculo de limites, identificação de forma indeterminada 0/0 e aplicação da regra de L’Hôpital, que exige derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que acontece se substituirmos diretamente x=-1: o numerador fica raiz[3]-1+1=-1+1=0 e o denominador -1+1=0. Como dá 0/0, temos indeterminação e podemos usar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

Pela regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador separadamente. Para o numerador, ddx(raiz[3]x+1)=ddx(x^1/3)=13x^-2/3. Para o denominador, ddx(x+1)=1.

Passo 4

Então o limite original passa a ser limxto -1tfrac13x^-2/31=limxto -113x^-2/3.

Passo 5

Falta só avaliar 13x^-2/3 em x=-1. Note que x^-2/3=1/l(raiz[3]x^2r). Como raiz[3](-1)^2=raiz[3]1=1, temos x^-2/3=1. Portanto o limite é tfrac13.

Resposta

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