Calcule o seguinte limite:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (x)}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^{2}}.
Note que, ao substituir x=0, obtemos \tfrac{0}{0}, uma forma indeterminada. Para resolver, vamos usar o Teorema de l’Hôpital, que permite derivar numerador e denominador até eliminar a indeterminação.

Passo 2

Verificamos a indeterminação: \cos(0)=1 implica 1-\cos(0)=0 e 0^{2}=0, logo \frac{0}{0}.
Aplicamos o Teorema de l’Hôpital pela primeira vez, derivando numerador e denominador:

Passo 3

A derivada do numerador 1-\cos(x) é \sin(x) e a do denominador x^{2} é 2x. Assim o limite vira
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{2x},
que ainda é \tfrac{0}{0}.

Passo 4

Aplicamos l’Hôpital pela segunda vez. A derivada de \sin(x) é \cos(x) e de 2x é 2. Logo o limite passa a ser
\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{2}.
Agora é contínuo em x=0, basta substituir x=0: \cos(0)=1, então o valor é \tfrac{1}{2}.

Resposta

\frac{1}{2}

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