Calcule o seguinte limite:
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite
Note que, ao substituir
, obtemos
, uma forma indeterminada. Para resolver, vamos usar o Teorema de l’Hôpital, que permite derivar numerador e denominador até eliminar a indeterminação.
Passo 2
Verificamos a indeterminação:
implica
e
, logo
.
Aplicamos o Teorema de l’Hôpital pela primeira vez, derivando numerador e denominador:
Aplicamos o Teorema de l’Hôpital pela primeira vez, derivando numerador e denominador:
Passo 3
A derivada do numerador
é
e a do denominador
é
. Assim o limite vira
que ainda é
.
Passo 4
Aplicamos l’Hôpital pela segunda vez. A derivada de
é
e de
é
. Logo o limite passa a ser
Agora é contínuo em
, basta substituir
:
, então o valor é
.