Considere a EDO
Escolha uma valor de
tal que a equação característica associada tenha duas raízes reais distintas e encontre a solução geral da EDO para o valor de
escolhido.
Passo 1
O enunciado dá a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
e pede que a gente escolha um valor de
tal que a equação característica tenha duas raízes reais distintas. O método é passar para a equação característica e exigir discriminante positivo.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada trocando
,
,
. Assim obtemos
Passo 3
Para ter duas raízes reais distintas, o discriminante dessa quadrática deve ser positivo:
Podemos, por simplicidade, escolher
, que satisfaz
.
Passo 4
Substituindo
em
, fica
logo as raízes são
que são reais e distintas.
Passo 5
Sempre que as raízes
e
da característica são reais e distintas, a solução geral da EDO é
Aqui,
e
, então