Considere a EDO
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+\gamma y=0 .
(1,0) Escolha uma valor de \gamma tal que a equação característica associada tenha duas raízes reais distintas e encontre a solução geral da EDO para o valor de \gamma escolhido.

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' + \gamma\,y = 0
e pede que a gente escolha um valor de \gamma tal que a equação característica tenha duas raízes reais distintas. O método é passar para a equação característica e exigir discriminante positivo.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada trocando y\mapsto e^{rx}, y'\mapsto r e^{rx}, y''\mapsto r^2 e^{rx}. Assim obtemos
r^2 - 2r + \gamma = 0.

Passo 3

Para ter duas raízes reais distintas, o discriminante dessa quadrática deve ser positivo:
\Delta = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot\gamma = 4 - 4\gamma > 0 \quad\Longrightarrow\quad \gamma < 1.
Podemos, por simplicidade, escolher \gamma = 0, que satisfaz \gamma<1.

Passo 4

Substituindo \gamma=0 em r^2 -2r + \gamma=0, fica
r^2 - 2r = 0 \quad\Longrightarrow\quad r(r - 2)=0,
logo as raízes são
r_1 = 0,\quad r_2 = 2,
que são reais e distintas.

Passo 5

Sempre que as raízes r_1 e r_2 da característica são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}.
Aqui, r_1=0 e r_2=2, então

Resposta

\gamma = 0
y(x) = C_1 e^{0\cdot x} + C_2 e^{2x} \quad\Longrightarrow\quad y(x) = C_1 + C_2 e^{2x}.

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