Resolver as seguintes integrais:
\int \cos ^{7}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \cos^{7}(x)\,dx.
Aqui vamos usar a técnica de redução de potência, em que expressamos \cos^{7}(x) em termos de \sin(x) e fazemos a substituição u=\sin(x).

Passo 2

Reescrevemos
\cos^{7}(x) = \cos^{6}(x)\,\cos(x)
e usamos a identidade \cos^{2}(x)=1-\sin^{2}(x), logo
\cos^{6}(x) = \bigl(\cos^{2}(x)\bigr)^{3} = \bigl(1-\sin^{2}(x)\bigr)^{3}.
Assim
\cos^{7}(x) = \bigl(1-\sin^{2}(x)\bigr)^{3}\cos(x).

Passo 3

Fazemos a substituição
u = \sin(x), \qquad du = \cos(x)\,dx.
Dessa forma a integral vira
\int \cos^{7}(x)\,dx = \int \bigl(1-u^{2}\bigr)^{3} \,du.

Passo 4

Expandindo \bigl(1-u^{2}\bigr)^{3} e integrando termo a termo:
\bigl(1-u^{2}\bigr)^{3} =1 -3u^{2}+3u^{4}-u^{6},
então
\int \bigl(1-u^{2}\bigr)^{3} du = \int \bigl(1 -3u^{2}+3u^{4}-u^{6}\bigr) du = u -3\frac{u^{3}}{3}+3\frac{u^{5}}{5}-\frac{u^{7}}{7}+C.
Simplificando,
\int \bigl(1-u^{2}\bigr)^{3} du = u - u^{3} + \frac{3}{5}\,u^{5} - \frac{1}{7}\,u^{7} + C.

Passo 5

Voltando à variável x com u=\sin(x), obtemos
\int \cos^{7}(x)\,dx = \sin(x) - \sin^{3}(x) + \frac{3}{5}\,\sin^{5}(x) - \frac{1}{7}\,\sin^{7}(x) + C.

Resposta

\boxed{ \int \cos^{7}(x)\,dx = \sin(x) - \sin^{3}(x) + \frac{3}{5}\,\sin^{5}(x) - \frac{1}{7}\,\sin^{7}(x) + C }.

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