(1,5 ponto) Sejam \alpha=\{(1,-1),(0,1)\} e \beta=\{(1,0,1),(0,1,0),(0,0,1)\} bases de \mathbb{R}^{2} e \mathbb{R}^{3}, respectivamente e A: R^{2} \rightarrow R^{3} a transformação linear dada pela expressão A(x, y)=(2 y, x-y, x). Usando as informações dadas, determine:
a) As imagens dos vetores da base \alpha, isto é, ache A(1,-1) e A(0,1).
b) Escreva as imagens obtidas no “item a” como combinação linear dos vetores da base \beta, isto é, escreva A(1,-1)=a_{11}(1,0,1)+a_{21}(0,1,0)+a_{31}(0,0,1) e A(0,1)=a_{12}(1,0,1)+a_{22}(0,1,0)+a_{32}(0,0,1) e ache os coeficientes a_{11}, a_{21}, a_{31}, a_{12}, a_{22} e a_{32}.
c) Ache a matriz [A]_{\beta}^{\alpha}.
Passo 1
O enunciado dá as bases \alpha=\{(1,-1),(0,1)\} de \mathbb{R}^2 e \beta=\{(1,0,1),(0,1,0),(0,0,1)\} de \mathbb{R}^3,
e a transformação linear
A(x,y) = (2y,\;x-y,\;x).
Precisamos:
a) Calcular A em cada vetor de \alpha.
b) Expressar essas imagens como combinações lineares dos vetores de \beta, encontrando os coeficientes a_{ij}.
c) Montar a matriz [A]_{\beta}^{\alpha}, cujas colunas são esses coeficientes.