(1,5 ponto) Sejam \alpha=\{(1,-1),(0,1)\} e \beta=\{(1,0,1),(0,1,0),(0,0,1)\} bases de \mathbb{R}^{2} e \mathbb{R}^{3}, respectivamente e A: R^{2} \rightarrow R^{3} a transformação linear dada pela expressão A(x, y)= (2 y, x-y, x). Usando as informações dadas, determine:
a) As imagens dos vetores da base \alpha, isto é, ache A(1,-1) e A(0,1).
b) Escreva as imagens obtidas no “item a” como combinação linear dos vetores da base \beta, isto é, escreva A(1,-1)=a_{11}(1,0,1)+a_{21}(0,1,0)+a_{31}(0,0,1) e A(0,1)=a_{12}(1,0,1)+ a_{22}(0,1,0)+a_{32}(0,0,1) e ache os coeficientes a_{11}, a_{21}, a_{31}, a_{12}, a_{22} e a_{32}.
c) Ache a matriz [A]_{\beta}^{\alpha}.

Passo 1

O enunciado dá as bases \alpha=\{(1,-1),(0,1)\} de \mathbb{R}^2 e \beta=\{(1,0,1),(0,1,0),(0,0,1)\} de \mathbb{R}^3,
e a transformação linear
A(x,y) = (2y,\;x-y,\;x).
Precisamos:
a) Calcular A em cada vetor de \alpha.
b) Expressar essas imagens como combinações lineares dos vetores de \beta, encontrando os coeficientes a_{ij}.
c) Montar a matriz [A]_{\beta}^{\alpha}, cujas colunas são esses coeficientes.

Passo 2

Calculando as imagens: A(1,-1) = (2\cdot(-1),\;1-(-1),\;1) = (-2,\;2,\;1). A(0,1) = (2\cdot1,\;0-1,\;0) = (2,\;-1,\;0).

Passo 3

Agora guardamos
A(1,-1)=(-2,2,1) \quad\text{e}\quad A(0,1)=(2,-1,0)
e escrevemos cada um como
(a_{11},a_{21},a_{31})\;\text{em relação a}\;(1,0,1),(0,1,0),(0,0,1).çã
Para (-2,2,1) temos
(-2,2,1)=a_{11}(1,0,1)+a_{21}(0,1,0)+a_{31}(0,0,1) =(a_{11},\,a_{21},\,a_{11}+a_{31}).
Igualando componentes:
a_{11}=-2,\quad a_{21}=2,\quad a_{11}+a_{31}=1\implies a_{31}=1-(-2)=3.
Para (2,-1,0) seja (a_{12},a_{22},a_{32}):
(2,-1,0)=a_{12}(1,0,1)+a_{22}(0,1,0)+a_{32}(0,0,1) =(a_{12},\,a_{22},\,a_{12}+a_{32}),
então
a_{12}=2,\quad a_{22}=-1,\quad a_{12}+a_{32}=0\implies a_{32}=0-2=-2.

Passo 4

A matriz [A]_{\beta}^{\alpha} tem colunas formadas pelos vetores de coeficientes:
[A]_{\beta}^{\alpha} =\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\\ a_{21} & a_{22}\\\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -2 & 2\\\\ 2 & -1\\\\ 3 & -2 \end{pmatrix}.

Resposta

a) A(1,-1)=(-2,2,1), \quad A(0,1)=(2,-1,0).
b)
A(1,-1)=-2(1,0,1)+2(0,1,0)+3(0,0,1), \quad A(0,1)=2(1,0,1)-1(0,1,0)-2(0,0,1).
c)
[A]_{\beta}^{\alpha} =\begin{pmatrix} -2 & 2\\\\ 2 & -1\\\\ 3 & -2 \end{pmatrix}.

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