Calcule o seguinte limite.
lim x 0 xraizx+4-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x 0 xraizx+4-2. Aqui, estamos lidando com cálculo de limites, mais especificamente com funções que envolvem radicais. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões com raízes e, possivelmente, racionalizar o denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando substituímos x = 0 diretamente na expressão:
0raiz0+4-2 = 02-2 = 00
Obtivemos uma forma indeterminada 00, o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Uma técnica útil para resolver esse tipo de limite é a racionalização do denominador. Isso envolve multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do denominador. No nosso caso, o denominador é raizx+4 - 2, então seu conjugado é raizx+4 + 2.

Passo 4

Vamos multiplicar a expressão original pelo conjugado:
xraizx+4-2 times raizx+4+2raizx+4+2 = x(raizx+4+2)(raizx+4-2)(raizx+4+2)
Multiplicamos tanto o numerador quanto o denominador pelo conjugado para não alterar o valor da expressão, apenas simplificá-la.

Passo 5

No denominador, utilizamos a identidade (a - b)(a + b) = a^2 - b^2. Aplicando isso:
(raizx+4)^2 - 2^2 = (x + 4) - 4 = x
Então, o denominador simplifica para x.

Passo 6

A expressão agora fica:
x(raizx+4+2)x
Podemos cancelar o x do numerador e do denominador, desde que x neq 0:
raizx+4 + 2

Passo 7

Agora, podemos calcular o limite substituindo x = 0:
raiz0+4 + 2 = raiz4 + 2 = 2 + 2 = 4

Resposta

O limite lim x 0 xraizx+4-2 é igual a 4.

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