Encontre a equação da reta tangente e da reta normal ao ponto ( x0, f(x0) ) do gráfico da função
f(x)=1+x e^-x
Para x0=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente e da reta normal no ponto (x0, f(x0)) do gráfico da função $ f(x) = 1 + x e^{-x} $ quando $ x_0 = 0 $.
Aqui, vamos usar conceitos de derivadas para encontrar as retas tangente e normal. A derivada da função nos dá a inclinação da reta tangente em um ponto específico. Depois, com essa inclinação, a gente pode montar a equação da reta tangente e, de lá, encontrar a da reta normal, que é perpendicular à tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de $ f(x_0) $, que é $ f(0) $.
A função é $ f(x) = 1 + x e^{-x} $. Substituindo $ x = 0 $:
f(x0)
Então, o ponto de tangência é f(0) .

Passo 3

Agora, vamos achar a derivada da função $ f(x) $, que nos dará a inclinação da reta tangente no ponto $ x_0 = 0 $.
A função é $ f(x) = 1 + x e^{-x} $. A derivada $ f’(x) $ é:
f(x)
A derivada de uma constante é zero, então:
x0 = 0
Para derivar $ x e^{-x} $, usamos a regra do produto:
f(x) = 1 + x e^-x
Então, a derivada da função é:
f'(x)

Passo 4

Vamos agora calcular $ f’(0) $, que é a inclinação da reta tangente no ponto $ x_0 = 0 $.
Substituindo $ x = 0 $ na derivada:
f'(0)
Então, a inclinação da reta tangente é $ m_{tangente} = 1 $.

Passo 5

Com a inclinação da reta tangente e o ponto de tangência, podemos montar a equação da reta tangente. A fórmula da reta é:
y - y0 = m (x - x0)
Substituindo $ m = 1 $, $ x_0 = 0 $ e $ y_0 = 1 $:
m = 1
Então, a equação da reta tangente é $ y = x + 1 $.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente. Se a inclinação da tangente é $ m $, a inclinação da normal é $ m_{normal} = -\frac{1}{m} $.
Como $ m_{tangente} = 1 $:
m

Passo 7

Com a inclinação da reta normal e o ponto de tangência, montamos a equação da reta normal usando a mesma fórmula:
y - y0 = mnormal (x - x0)
Substituindo $ m_{normal} = -1 $, $ x_0 = 0 $ e $ y_0 = 1 $:
mnormal = -1
Então, a equação da reta normal é $ y = -x + 1 $.

Resposta

A reta tangente no ponto (0, 1) é $ y = x + 1 $ e a reta normal é $ y = -x + 1 $.

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