Encontre a equação da reta tangente e da reta normal ao ponto (
) do gráfico da função
Para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente e da reta normal no ponto
do gráfico da função $ f(x) = 1 + x e^{-x} $ quando $ x_0 = 0 $.
Aqui, vamos usar conceitos de derivadas para encontrar as retas tangente e normal. A derivada da função nos dá a inclinação da reta tangente em um ponto específico. Depois, com essa inclinação, a gente pode montar a equação da reta tangente e, de lá, encontrar a da reta normal, que é perpendicular à tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de $ f(x_0) $, que é $ f(0) $.
A função é $ f(x) = 1 + x e^{-x} $. Substituindo $ x = 0 $:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, vamos achar a derivada da função $ f(x) $, que nos dará a inclinação da reta tangente no ponto $ x_0 = 0 $.
A função é $ f(x) = 1 + x e^{-x} $. A derivada $ f’(x) $ é:
A derivada de uma constante é zero, então:
Para derivar $ x e^{-x} $, usamos a regra do produto:
Então, a derivada da função é:
Passo 4
Vamos agora calcular $ f’(0) $, que é a inclinação da reta tangente no ponto $ x_0 = 0 $.
Substituindo $ x = 0 $ na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é $ m_{tangente} = 1 $.
Passo 5
Com a inclinação da reta tangente e o ponto de tangência, podemos montar a equação da reta tangente. A fórmula da reta é:
Substituindo $ m = 1 $, $ x_0 = 0 $ e $ y_0 = 1 $:
Então, a equação da reta tangente é $ y = x + 1 $.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente. Se a inclinação da tangente é $ m $, a inclinação da normal é $ m_{normal} = -\frac{1}{m} $.
Como $ m_{tangente} = 1 $:
Passo 7
Com a inclinação da reta normal e o ponto de tangência, montamos a equação da reta normal usando a mesma fórmula:
Substituindo $ m_{normal} = -1 $, $ x_0 = 0 $ e $ y_0 = 1 $:
Então, a equação da reta normal é $ y = -x + 1 $.
Resposta
A reta tangente no ponto
é $ y = x + 1 $ e a reta normal é $ y = -x + 1 $.