Calcule o seguinte limite.
lim x 2 x^3-x^2-2 xx^2-5 x+6

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite da função
lim x 2 x^3-x^2-2xx^2-5x+6
Este exercício envolve conceitos de limites de funções racionais, ou seja, funções que são quocientes de polinômios. Para resolver, vamos precisar aplicar técnicas de fatoração para simplificar a expressão e possivelmente eliminar indeterminações.

Passo 2

Vamos começar substituindo $ x = 2 $ na expressão para verificar se obtemos uma forma determinável ou uma indeterminação.
Substituindo:
Numerador:
x = 2
Denominador:
2^3 - 2^2 - 2 cdot 2 = 8 - 4 - 4 = 0
Obtemos a forma $ \frac{0}{0} $, que é uma indeterminação. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Para simplificar, vamos fatorar o numerador e o denominador.
Primeiro, fatorando o numerador:
x^3 - x^2 - 2x = x(x^2 - x - 2)
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático $ x^{2} - x - 2 $. Procuramos dois números que, multiplicados, dão x^2 - x - 2 e, somados, dão -2. Esses números são -1 e -2.
Então:
1
Portanto, o numerador fatorado fica:
x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador:
x^2 - 5x + 6
Procuramos dois números que, multiplicados, dão 6 e, somados, dão -5. Esses números são -2 e -3.
Então:
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Passo 5

Agora, vamos reescrever a expressão original com os polinômios fatorados:
x(x - 2)(x + 1)(x - 2)(x - 3)
Observamos que o fator (x - 2) está presente no numerador e no denominador. Podemos simplificá-lo, desde que x neq 2 (o que é válido quando estamos calculando o limite).
Simplificando:
x(x + 1)x - 3

Passo 6

Com a expressão simplificada, podemos calcular o limite substituindo $ x $ por $ 2 $:
x

Resposta

O limite é $ -6 $.

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