Calcule o seguinte limite.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite da função
Este exercício envolve conceitos de limites de funções racionais, ou seja, funções que são quocientes de polinômios. Para resolver, vamos precisar aplicar técnicas de fatoração para simplificar a expressão e possivelmente eliminar indeterminações.
Passo 2
Vamos começar substituindo $ x = 2 $ na expressão para verificar se obtemos uma forma determinável ou uma indeterminação.
Substituindo:
Numerador:
Denominador:
Obtemos a forma $ \frac{0}{0} $, que é uma indeterminação. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.
Passo 3
Para simplificar, vamos fatorar o numerador e o denominador.
Primeiro, fatorando o numerador:
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático $ x^{2} - x - 2 $. Procuramos dois números que, multiplicados, dão
e, somados, dão
. Esses números são
e
.
Então:
Portanto, o numerador fatorado fica:
Passo 4
Agora, vamos fatorar o denominador:
Procuramos dois números que, multiplicados, dão
e, somados, dão
. Esses números são
e
.
Então:
Passo 5
Agora, vamos reescrever a expressão original com os polinômios fatorados:
Observamos que o fator
está presente no numerador e no denominador. Podemos simplificá-lo, desde que
(o que é válido quando estamos calculando o limite).
Simplificando:
Passo 6
Com a expressão simplificada, podemos calcular o limite substituindo $ x $ por $ 2 $:
Resposta
O limite é $ -6 $.