Determine o valor da constante
tal que a função
seja contínua para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes e precisamos encontrar o valor da constante $ k $ para que a função seja contínua no intervalo de $ 0 $ a $ 1 $. Isso envolve conceitos de continuidade e limites, então vamos dar uma olhada nesses temas enquanto resolvemos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua no intervalo dado. Para que $ f(x) $ seja contínua em $ x = 1 $, o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ 1 $ pelo lado esquerdo deve ser igual ao valor da função em $ x = 1 $, que é $ k $. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos calcular esse limite. A função para $ 0 \leq x < 1 $ é:
Precisamos encontrar:
Passo 4
Para resolver esse limite, vamos simplificar a expressão. Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador, que é $ 1 + \sqrt{x} $:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando $ x $ se aproxima de $ 1 $:
Passo 6
Finalmente, para que a função seja contínua em $ x = 1 $, o valor de $ k $ deve ser igual a esse limite:
Resposta
O valor de $ k $ que torna a função contínua é $ k = -\frac{1}{2} $.