Determine o valor da constante k tal que a função
f(x)=lll 1-raizxx-1, & para & 0 <= x<1 k, & para & x=1
seja contínua para 0 <= x <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes e precisamos encontrar o valor da constante $ k $ para que a função seja contínua no intervalo de $ 0 $ a $ 1 $. Isso envolve conceitos de continuidade e limites, então vamos dar uma olhada nesses temas enquanto resolvemos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua no intervalo dado. Para que $ f(x) $ seja contínua em $ x = 1 $, o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ 1 $ pelo lado esquerdo deve ser igual ao valor da função em $ x = 1 $, que é $ k $. Ou seja:
f(x)

Passo 3

Agora, vamos calcular esse limite. A função para $ 0 \leq x < 1 $ é:
0 <= x < 1
Precisamos encontrar:
f(x) = 1 - raizxx - 1

Passo 4

Para resolver esse limite, vamos simplificar a expressão. Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador, que é $ 1 + \sqrt{x} $:
1 + raizx
Isso simplifica para:
1 - raizxx - 1 times 1 + raizx1 + raizx = (1 - raizx)(1 + raizx)(x - 1)(1 + raizx)

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando $ x $ se aproxima de $ 1 $:
x

Passo 6

Finalmente, para que a função seja contínua em $ x = 1 $, o valor de $ k $ deve ser igual a esse limite:
x = 1

Resposta

O valor de $ k $ que torna a função contínua é $ k = -\frac{1}{2} $.

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