Considere a função dada por f(x)=2 x^3+3 x^2-3 x-1.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (-1,3).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a função $ f(x) = 2x^{3} + 3x^{2} - 3x - 1 $ e queremos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 3x - 1 . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivada, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Para encontrar a equação da reta tangente, precisamos de dois elementos: um ponto pela qual a reta passa e a inclinação dessa reta. Já temos o ponto (-1, 3). Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente nesse ponto, que é dada pela derivada da função $ f(x) $ avaliada em $ x = -1 $.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a $ x $, ou seja, a inclinação da tangente.
A derivada de $ f(x) = 2x^{3} + 3x^{2} - 3x - 1 $ é:
f(x)
Calculando cada termo:
x

Passo 4

Agora, vamos avaliar a derivada em $ x = -1 $ para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto x = -1 :
(-1, 3)
Então, a inclinação da reta tangente é $ m = -3 $.

Passo 5

Com o ponto (-1, 3) e a inclinação $ m = -3 $, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
m = -3
Substituindo os valores:
y - y1 = m(x - x1)

Passo 6

Vamos simplificar a equação para a forma $ y = mx + b $:
y = mx + b

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de $ f $ no ponto f é $ y = -3x $.

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