Considere a função dada por
.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a função $ f(x) = 2x^{3} + 3x^{2} - 3x - 1 $ e queremos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivada, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.
Passo 2
Para encontrar a equação da reta tangente, precisamos de dois elementos: um ponto pela qual a reta passa e a inclinação dessa reta. Já temos o ponto
. Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente nesse ponto, que é dada pela derivada da função $ f(x) $ avaliada em $ x = -1 $.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a $ x $, ou seja, a inclinação da tangente.
A derivada de $ f(x) = 2x^{3} + 3x^{2} - 3x - 1 $ é:
Calculando cada termo:
Passo 4
Agora, vamos avaliar a derivada em $ x = -1 $ para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
:
Então, a inclinação da reta tangente é $ m = -3 $.
Passo 5
Com o ponto
e a inclinação $ m = -3 $, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar a equação para a forma $ y = mx + b $:
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de $ f $ no ponto
é $ y = -3x $.