Determine os domínios das funções a seguir.
f(x)=1x cdot ln (x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa determinar o domínio da função $ f(x) = \frac{1}{x \cdot \ln(x^{2})} $. Isso significa descobrir para quais valores de $ x $ a função está definida. Para isso, vamos precisar entender quando o denominador não é zero e quando os componentes da função são válidos, especialmente a função logaritmo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da função: $ x \cdot \ln(x^{2}) $. Para a fração ser válida, o denominador não pode ser zero. Então, precisamos encontrar quando $ x \cdot \ln(x^{2}) \neq 0 $.

Passo 3

Vamos quebrar isso em duas partes:
  1. $ x \neq 0 $: Se $ x = 0 $, o denominador seria zero, o que não é permitido.
  2. $ \ln(x^{2}) \neq 0 $: O logaritmo de um número é zero quando o argumento é 1. Ou seja, $ x^{2} = 1 $ leva a $ \ln(1) = 0 $. Então, $ x^{2} \neq 1 $, ou seja, $ x \neq \pm1 $.

Passo 4

Além disso, precisamos garantir que o argumento do logaritmo seja positivo, pois o logaritmo não está definido para números negativos ou zero. Assim, $ x^{2} > 0 $.
Como $ x^{2} $ é sempre positivo, exceto quando $ x = 0 $, que já excluímos no passo anterior, não precisamos nos preocupar com essa parte.

Passo 5

Resumindo as condições que encontramos:
  • $ x \neq 0 $
  • $ x \neq 1 $
  • $ x \neq -1 $
Esses três valores fazem com que o denominador seja zero ou o logaritmo seja inválido.

Resposta

O domínio da função $ f(x) = \frac{1}{x \cdot \ln(x^{2})} $ é todos os números reais exceto $ x = 0 $, $ x = 1 $ e $ x = -1 $. Em notação de intervalo, fica:
f(x) = 1x cdot ln(x^2)

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