Calcule o seguinte limite
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite bilateral
Informações fornecidas e observações imediatas:
- A expressão no numerador é
. - Note que
. - Quando
tanto o numerador quanto o denominador vão para , ou seja temos a forma indeterminada . - A tarefa é encontrar o valor desse limite numérico.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão trocando a variável para enxergar melhor a forma de diferença quociente. Faça a substituição
de modo que
e quando
temos
. Reescrevendo o limite em termos de
obtemos
Aqui já fica mais claro: é um quociente do tipo
com
.
Passo 3
Fatoramos
do numerador para reduzir a expressão:
Portanto o limite original é
desde que o limite interno exista.
Passo 4
Agora vamos calcular
Uma forma limpa de tratar potências é usar a exponencial natural: escrevemos
. Substituindo,
Faça a mudança de variável
. Quando
temos
também, e
. Assim
Passo 5
Conhecemos o limite fundamental
Esse limite pode ser visto como o valor da derivada de
em
(ou usando a série de Taylor
). Portanto
Passo 6
Voltando à expressão do Passo 3, temos
Passo 7
Comentário extra (útil para prova): outra maneira rápida de ver isso é reconhecer que o limite
é a definição de derivada
. Aqui
, e usando
obtemos
. Assim
, concordando com o resultado anterior.