Calcule o seguinte limite
\mathrm{b}-\lim _{x \rightarrow 2} \frac{2^{x}-4}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite bilateral
\lim_{x\to 2}\frac{2^{x}-4}{x-2}.
Informações fornecidas e observações imediatas:
  • A expressão no numerador é 2^{x}-4.
  • Note que 4=2^{2}.
  • Quando x\to 2 tanto o numerador quanto o denominador vão para 0, ou seja temos a forma indeterminada \tfrac{0}{0}.
  • A tarefa é encontrar o valor desse limite numérico.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão trocando a variável para enxergar melhor a forma de diferença quociente. Faça a substituição
h = x-2,
de modo que x=2+h e quando x\to 2 temos h\to 0. Reescrevendo o limite em termos de h obtemos
\lim_{x\to 2}\frac{2^{x}-4}{x-2} = \lim_{h\to 0}\frac{2^{2+h}-2^{2}}{h}.
Aqui já fica mais claro: é um quociente do tipo \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} com f(t)=2^{t}.

Passo 3

Fatoramos 2^{2} do numerador para reduzir a expressão:
\frac{2^{2+h}-2^{2}}{h} = \frac{2^{2}\bigl(2^{h}-1\bigr)}{h} = 4\cdot\frac{2^{h}-1}{h}.
Portanto o limite original é
\lim_{h\to 0}4\cdot\frac{2^{h}-1}{h} =4\cdot\lim_{h\to 0}\frac{2^{h}-1}{h},
desde que o limite interno exista.

Passo 4

Agora vamos calcular
L=\lim_{h\to 0}\frac{2^{h}-1}{h}.
Uma forma limpa de tratar potências é usar a exponencial natural: escrevemos 2^{h}=e^{h\ln 2}. Substituindo,
\frac{2^{h}-1}{h}=\frac{e^{h\ln 2}-1}{h}.
Faça a mudança de variável u=h\ln 2. Quando h\to 0 temos u\to 0 também, e h=\dfrac{u}{\ln 2}. Assim
\frac{e^{h\ln 2}-1}{h} =\frac{e^{u}-1}{u}\cdot \ln 2.

Passo 5

Conhecemos o limite fundamental
\lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u}=1.
Esse limite pode ser visto como o valor da derivada de e^{u} em u=0 (ou usando a série de Taylor e^{u}=1+u+u^{2}/2!+\cdots). Portanto
\lim_{h\to 0}\frac{2^{h}-1}{h} =\lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u}\cdot \ln 2 =1\cdot \ln 2=\ln 2.

Passo 6

Voltando à expressão do Passo 3, temos
\lim_{x\to 2}\frac{2^{x}-4}{x-2} =4\cdot\lim_{h\to 0}\frac{2^{h}-1}{h} =4\cdot \ln 2.

Passo 7

Comentário extra (útil para prova): outra maneira rápida de ver isso é reconhecer que o limite
\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}
é a definição de derivada f'(a). Aqui f(x)=2^{x}, e usando 2^{x}=e^{x\ln 2} obtemos f'(x)=2^{x}\ln 2. Assim f'(2)=2^{2}\ln 2=4\ln 2, concordando com o resultado anterior.

Resposta

4\ln 2

Exercícios relacionados