Massa de um fio. Encontre a massa de um fio que se encontra ao longo da curva \vec{r}(t)=\left(t^{2}-1\right) \vec{\jmath}+2 t \vec{k}
0 \leq t \leq 1. Se a densidade for \delta=\frac{3}{2} t. Resposta: 2 \sqrt{2}-1

Passo 1

O enunciado dá uma curva paramétrica e pede a massa do fio sobre ela. Dados e perguntas explicitamente:
  • Curva: \vec{r}(t)=\left(t^{2}-1\right)\vec{\jmath}+2t\vec{k} para 0\le t\le1.
  • Densidade linear (ao longo do parâmetro): \delta(t)=\dfrac{3}{2}\,t.
  • Pergunta: encontrar a massa do fio, ou seja, calcular a integral que dá a massa usando essas informações.

Passo 2

Fórmula para massa de um fio parametrizado: se a densidade linear ao longo do fio for \delta(t) e a curva for \vec{r}(t) com a\le t\le b, então
M=\int_{C}\delta\,ds=\int_{a}^{b}\delta(t)\,\bigl\lVert \vec{r}\,'(t)\bigr\rVert\,dt.
Aqui \bigl\lVert \vec{r}\,'(t)\bigr\rVert é a velocidade (módulo da derivada), e ds=\bigl\lVert \vec{r}\,'(t)\bigr\rVert dt é o elemento de comprimento de arco. Vou aplicar essa fórmula ao caso dado.

Passo 3

Calcular a derivada \vec{r}\,'(t) componente a componente. A componente em \vec{\jmath} é t^2-1, cuja derivada é 2t. A componente em \vec{k} é 2t, cuja derivada é 2. Logo
\vec{r}\,'(t)=2t\,\vec{\jmath}+2\,\vec{k}.

Passo 4

Calcular o módulo \bigl\lVert \vec{r}\,'(t)\bigr\rVert. Como as componentes são 2t e 2,
\bigl\lVert \vec{r}\,'(t)\bigr\rVert=\sqrt{(2t)^{2}+2^{2}}=\sqrt{4t^{2}+4}=2\sqrt{t^{2}+1}.
Explicação curta: usamos a fórmula da norma euclidiana \sqrt{(\text{comp}_y)^2+(\text{comp}_z)^2}.

Passo 5

Substituir \delta(t) e \bigl\lVert \vec{r}\,'(t)\bigr\rVert na integral da massa:
M=\int_{0}^{1}\delta(t)\,\bigl\lVert \vec{r}\,'(t)\bigr\rVert\,dt =\int_{0}^{1}\left(\frac{3}{2}t\right)\cdot 2\sqrt{t^{2}+1}\,dt.
Simplificando o fator 2 com \tfrac{3}{2} obtemos
M=3\int_{0}^{1} t\sqrt{t^{2}+1}\,dt.

Passo 6

Resolver a integral \displaystyle \int_{0}^{1} t\sqrt{t^{2}+1}\,dt por substituição. Faça a mudança
u=t^{2}+1\quad\Rightarrow\quad du=2t\,dt\quad\Rightarrow\quad t\,dt=\frac{du}{2}.
Os limites mudam: para t=0 temos u=1; para t=1 temos u=2. Assim
3\int_{0}^{1} t\sqrt{t^{2}+1}\,dt=3\int_{u=1}^{u=2}\sqrt{u}\cdot\frac{du}{2}=\frac{3}{2}\int_{1}^{2} u^{1/2}\,du.

Passo 7

Integrar u^{1/2}: uma antiderivada é \dfrac{u^{3/2}}{3/2}=\dfrac{2}{3}u^{3/2}. Então
\frac{3}{2}\int_{1}^{2} u^{1/2}\,du=\frac{3}{2}\cdot\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{1}^{2} =\left[u^{3/2}\right]_{1}^{2}=2^{3/2}-1^{3/2}.
Simplificando 2^{3/2}=2\sqrt{2}, fica
M=2\sqrt{2}-1.

Resposta

2\sqrt{2}-1

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