Massa de um fio. Encontre a massa de um fio que se encontra ao longo da curva \vec{r}(t)=\left(t^{2}-1\right) \vec{\jmath}+2 t \vec{k} 0 \leq t \leq 1. Se a densidade for \delta=\frac{3}{2} t. Resposta: 2 \sqrt{2}-1
Passo 1
O enunciado dá uma curva paramétrica e pede a massa do fio sobre ela. Dados e perguntas explicitamente:
Curva: \vec{r}(t)=\left(t^{2}-1\right)\vec{\jmath}+2t\vec{k} para 0\le t\le1.
Densidade linear (ao longo do parâmetro): \delta(t)=\dfrac{3}{2}\,t.
Pergunta: encontrar a massa do fio, ou seja, calcular a integral que dá a massa usando essas informações.
Passo 2
Fórmula para massa de um fio parametrizado: se a densidade linear ao longo do fio for \delta(t) e a curva for \vec{r}(t) com a\le t\le b, então
Aqui \bigl\lVert \vec{r}\,'(t)\bigr\rVert é a velocidade (módulo da derivada), e ds=\bigl\lVert \vec{r}\,'(t)\bigr\rVert dt é o elemento de comprimento de arco. Vou aplicar essa fórmula ao caso dado.
Passo 3
Calcular a derivada \vec{r}\,'(t) componente a componente. A componente em \vec{\jmath} é t^2-1, cuja derivada é 2t. A componente em \vec{k} é 2t, cuja derivada é 2. Logo
\vec{r}\,'(t)=2t\,\vec{\jmath}+2\,\vec{k}.
Passo 4
Calcular o módulo \bigl\lVert \vec{r}\,'(t)\bigr\rVert. Como as componentes são 2t e 2,