Calcule o seguinte limite
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A função no numerador é
. - No ponto
temos , logo o numerador se anula. - O denominador
também se anula quando . - Portanto a expressão apresenta a forma indeterminada
. - O que nos pedem é calcular esse limite quando
se aproxima de .
Passo 2
Reconhecemos que a expressão na forma
quando
é exatamente a definição do derivado de
em
:
Aqui podemos identificar
e
. Assim o limite pedido é justamente
, ou seja, a derivada de
no ponto
. Vou mostrar como calcular essa derivada pelo limite, passo a passo.
Passo 3
Definição e cálculo da derivada de
em um ponto genérico
. Usamos a notação de incremento
e fazemos
:
Aplicamos a identidade de soma para seno:
Substituindo na diferença:
Agora usamos dois limites trigonométricos básicos (que você deve lembrar ou aceitar como fatos fundamentais):
Aplicando esses limites ao termo anterior obtemos
Portanto a derivada de
em qualquer ponto
é
.
Passo 4
Voltando ao nosso limite, que identificamos com
, temos
Lembrando a razão trigonométrica,
.
Passo 5
Concluímos que o limite existe e vale
. (Uma alternativa seria usar diretamente a regra de L’Hôpital — que diz para derivar numerador e denominador quando há
— obtendo a mesma resposta:
.)
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