Calcule o seguinte limite
\mathrm{a}-\lim _{x \rightarrow \pi / 2} \frac{\operatorname{sen}(\mathrm{x})-1}{x-\frac{\pi}{2}} ;

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\operatorname{sen}(x)-1}{x-\frac{\pi}{2}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função no numerador é \operatorname{sen}(x)-1.
  • No ponto x=\frac{\pi}{2} temos \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1, logo o numerador se anula.
  • O denominador x-\frac{\pi}{2} também se anula quando x=\frac{\pi}{2}.
  • Portanto a expressão apresenta a forma indeterminada \frac{0}{0}.
  • O que nos pedem é calcular esse limite quando x se aproxima de \frac{\pi}{2}.

Passo 2

Reconhecemos que a expressão na forma \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} quando x\to a é exatamente a definição do derivado de f em a:
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
Aqui podemos identificar f(x)=\operatorname{sen}(x) e a=\frac{\pi}{2}. Assim o limite pedido é justamente f'\!\left(\frac{\pi}{2}\right), ou seja, a derivada de \operatorname{sen}(x) no ponto \frac{\pi}{2}. Vou mostrar como calcular essa derivada pelo limite, passo a passo.

Passo 3

Definição e cálculo da derivada de \operatorname{sen}(x) em um ponto genérico a. Usamos a notação de incremento h=x-a e fazemos h\to0:
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{\operatorname{sen}(a+h)-\operatorname{sen}(a)}{h}.
Aplicamos a identidade de soma para seno:
\operatorname{sen}(a+h)=\operatorname{sen} a\cos h+\cos a\operatorname{sen} h.
Substituindo na diferença:
\frac{\operatorname{sen}(a+h)-\operatorname{sen}(a)}{h}=\frac{\operatorname{sen} a(\cos h-1)}{h}+\cos a\cdot\frac{\operatorname{sen} h}{h}.
Agora usamos dois limites trigonométricos básicos (que você deve lembrar ou aceitar como fatos fundamentais):
\lim_{h\to0}\frac{\operatorname{sen} h}{h}=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0.
Aplicando esses limites ao termo anterior obtemos
f'(a)=\operatorname{sen} a\cdot 0 + \cos a\cdot 1 = \cos a.
Portanto a derivada de \operatorname{sen}(x) em qualquer ponto a é \cos a.

Passo 4

Voltando ao nosso limite, que identificamos com f'\!\left(\frac{\pi}{2}\right), temos
\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\operatorname{sen}(x)-1}{x-\frac{\pi}{2}} = f'\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right).
Lembrando a razão trigonométrica, \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.

Passo 5

Concluímos que o limite existe e vale 0. (Uma alternativa seria usar diretamente a regra de L’Hôpital — que diz para derivar numerador e denominador quando há \tfrac{0}{0} — obtendo a mesma resposta: \lim_{x\to\pi/2}\cos x=\cos(\pi/2)=0.)

Resposta

0

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