Informações dadas: a função é o produto de duas expressões dependentes de x: a primeira é \sqrt{1+\tfrac{1}{3}x^{3}} e a segunda é \arctan\!\left(\sqrt{1-\tfrac{1}{3}x^{3}}\right). A pergunta é encontrar y', ou seja, a derivada de y em relação a x.
Passo 2
Estrutura do cálculo (sem resolver ainda): como y é produto de duas funções de x, vamos usar a regra do produto. Vou chamar
Explico a regra do produto de forma simples: se y=f(x)g(x), então ao derivar precisamos somar a derivada de uma vezes a outra não derivada e vice-versa, porque a variação do produto vem da variação de cada fator.
Agora vamos calcular u'(x) e v'(x) separadamente usando a regra da cadeia.
Passo 3
Derivando u(x)=\sqrt{1+\frac{1}{3}x^{3}}.
Primeiro, escrevemos a raiz como função composta: u(x)=(\,s(x)\,)^{1/2} com
s(x)=1+\frac{1}{3}x^{3}.
A regra da cadeia para f(g(x)) é (f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x). Para f(t)=t^{1/2} temos f'(t)=\dfrac{1}{2}t^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{t}}.
Então
u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{s(x)}}\cdot s'(x).
Calculamos s'(x). Como s(x)=1+\tfrac{1}{3}x^{3}, temos