(2 pontos) Derive a seguinte função y=\left(\sqrt{1+\frac{1}{3} x^{3}}\right) \arctan \left(\sqrt{1-\frac{1}{3} x^{3}}\right).

Passo 1

O enunciado pede: derivar a função
y=\left(\sqrt{1+\frac{1}{3}x^{3}}\right)\arctan\!\left(\sqrt{1-\frac{1}{3}x^{3}}\right).
Informações dadas: a função é o produto de duas expressões dependentes de x: a primeira é \sqrt{1+\tfrac{1}{3}x^{3}} e a segunda é \arctan\!\left(\sqrt{1-\tfrac{1}{3}x^{3}}\right). A pergunta é encontrar y', ou seja, a derivada de y em relação a x.

Passo 2

Estrutura do cálculo (sem resolver ainda): como y é produto de duas funções de x, vamos usar a regra do produto. Vou chamar
u(x)=\sqrt{1+\frac{1}{3}x^{3}},\qquad v(x)=\arctan\!\left(\sqrt{1-\frac{1}{3}x^{3}}\right).
A regra do produto diz que a derivada é
y'=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Explico a regra do produto de forma simples: se y=f(x)g(x), então ao derivar precisamos somar a derivada de uma vezes a outra não derivada e vice-versa, porque a variação do produto vem da variação de cada fator.
Agora vamos calcular u'(x) e v'(x) separadamente usando a regra da cadeia.

Passo 3

Derivando u(x)=\sqrt{1+\frac{1}{3}x^{3}}.
Primeiro, escrevemos a raiz como função composta: u(x)=(\,s(x)\,)^{1/2} com
s(x)=1+\frac{1}{3}x^{3}.
A regra da cadeia para f(g(x)) é (f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x). Para f(t)=t^{1/2} temos f'(t)=\dfrac{1}{2}t^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{t}}.
Então
u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{s(x)}}\cdot s'(x).
Calculamos s'(x). Como s(x)=1+\tfrac{1}{3}x^{3}, temos
s'(x)=\frac{1}{3}\cdot 3x^{2}=x^{2}.
Logo
u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+\tfrac{1}{3}x^{3}}}\cdot x^{2}=\frac{x^{2}}{2\sqrt{1+\tfrac{1}{3}x^{3}}}.
Pequena intuição: a derivada da raiz introduz um fator 1/(2\sqrt{\cdot}) e depois multiplicamos pela derivada do que está dentro.

Passo 4

Derivando v(x)=\arctan\!\left(\sqrt{1-\tfrac{1}{3}x^{3}}\right).
Aqui temos uma composição dupla: v(x)=\arctan(t(x)) com t(x)=\sqrt{r(x)} e r(x)=1-\tfrac{1}{3}x^{3}.
Passo a passo:
  • Derivada de \arctan(t) em relação a t é \dfrac{1}{1+t^{2}}.
  • Derivada de t(x)=\sqrt{r(x)} em relação a x é \dfrac{1}{2\sqrt{r(x)}}\cdot r'(x).
  • Derivada de r(x)=1-\tfrac{1}{3}x^{3} é r'(x)=-x^{2} (porque \tfrac{d}{dx}\tfrac{1}{3}x^{3}=x^{2}).
Assim,
t'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1-\tfrac{1}{3}x^{3}}}\cdot(-x^{2})=-\frac{x^{2}}{2\sqrt{1-\tfrac{1}{3}x^{3}}}.
Agora
v'(x)=\frac{1}{1+t(x)^{2}}\cdot t'(x).
Mas t(x)^{2}=\big(\sqrt{1-\tfrac{1}{3}x^{3}}\big)^{2}=1-\tfrac{1}{3}x^{3}. Logo
1+t(x)^{2}=1+\left(1-\tfrac{1}{3}x^{3}\right)=2-\tfrac{1}{3}x^{3}.
Substituindo,
v'(x)=\frac{1}{2-\tfrac{1}{3}x^{3}}\cdot\left(-\frac{x^{2}}{2\sqrt{1-\tfrac{1}{3}x^{3}}}\right) =-\frac{x^{2}}{2\bigl(2-\tfrac{1}{3}x^{3}\bigr)\sqrt{1-\tfrac{1}{3}x^{3}}}.
Comentário: repare que a derivada de arctan dá um denominador 1+t^{2} que aqui simplificou bem porque t^{2} cancelou a raiz.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto:
y'=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u',v,u,v' que encontramos:
y'=\frac{x^{2}}{2\sqrt{1+\tfrac{1}{3}x^{3}}}\,\arctan\!\left(\sqrt{1-\tfrac{1}{3}x^{3}}\right) +\sqrt{1+\tfrac{1}{3}x^{3}}\left(-\frac{x^{2}}{2\bigl(2-\tfrac{1}{3}x^{3}\bigr)\sqrt{1-\tfrac{1}{3}x^{3}}}\right).
Fatorando um \dfrac{x^{2}}{2} em comum para ficar mais arrumado:
y'=\frac{x^{2}}{2}\left(\frac{\arctan\!\left(\sqrt{1-\tfrac{1}{3}x^{3}}\right)}{\sqrt{1+\tfrac{1}{3}x^{3}}} -\frac{\sqrt{1+\tfrac{1}{3}x^{3}}}{\bigl(2-\tfrac{1}{3}x^{3}\bigr)\sqrt{1-\tfrac{1}{3}x^{3}}}\right).
Essa forma está clara e mostra os dois termos vindos da regra do produto: um com u'\cdot v e outro com u\cdot v'.

Resposta

y'=\frac{x^{2}}{2}\left(\frac{\arctan\!\left(\sqrt{1-\tfrac{1}{3}x^{3}}\right)}{\sqrt{1+\tfrac{1}{3}x^{3}}} -\frac{\sqrt{1+\tfrac{1}{3}x^{3}}}{\bigl(2-\tfrac{1}{3}x^{3}\bigr)\sqrt{1-\tfrac{1}{3}x^{3}}}\right).

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