Calcule o seguinte limite, utilizando a Regra de L’Hôpital e justificando detalhadamente cada aplicação da regra.
(i) [10 pontos $$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 e^{x}-2-2 x-x^{2}}{2 x^{3}}\

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to 0}\frac{2e^{x}-2-2x-x^{2}}{2x^{3}}.
As informações dadas são apenas a expressão do numerador e do denominador, e o ponto de interesse x=0. Não há outras condições ou parâmetros.

Passo 2

Primeiro checamos o tipo de indeterminação ao substituir x=0 diretamente:
\text{numerador}(0)=2e^{0}-2-2\cdot 0-0^{2}=2\cdot 1-2=0,
\text{denominador}(0)=2\cdot 0^{3}=0.
Logo a forma é 0/0, uma indeterminação clássica onde podemos pensar em usar a Regra de L’Hôpital — desde que suas hipóteses sejam satisfeitas. A partir daqui aplicaremos L’Hôpital sucessivas vezes, justificando cada aplicação.

Passo 3

Breve lembrete (didático) da Regra de L’Hôpital, em linguagem simples: se f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a), se g'(x)\neq 0 para x próximo de a com x\neq a, e se \lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(x)=0 (ou ambos \pm\infty), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
desde que o limite à direita exista (ou seja \pm\infty). Em palavras: podemos substituir a razão pelas razões das derivadas quando a forma é indeterminada e as hipóteses valem. Aqui f(x)=2e^{x}-2-2x-x^{2} e g(x)=2x^{3} são diferenciáveis em toda a reta (exponencial e polinômio), então podemos aplicar a regra enquanto a forma continuar indeterminada e g' for não nulo em pontos distintos de 0.

Passo 4

Aplicamos L’Hôpital pela primeira vez. Calculamos as derivadas:
  • Derivada do numerador:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2e^{x}-2-2x-x^{2}\bigr)=2e^{x}-2-2x.
(Explicação: derivada de 2e^{x} é 2e^{x}; de -2 é 0; de -2x é -2; de -x^{2} é -2x.)
  • Derivada do denominador:
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x^{3}\bigr)=6x^{2}.
Pelo que a nova razão é
\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{2e^{x}-2-2x}{6x^{2}}.
Verificamos a forma ao x\to 0:
f'(0)=2e^{0}-2-0=0,\qquad g'(0)=6\cdot 0^{2}=0,
ainda temos 0/0. Além disso, para x\neq 0 próximo de 0 tem-se g'(x)=6x^{2}>0, ou seja g'(x)\neq 0 em qualquer vizinhança pontuada de 0. Portanto as hipóteses da regra permanecem satisfeitas e podemos aplicar L’Hôpital de novo.

Passo 5

Aplicamos L’Hôpital pela segunda vez. Calculamos as segundas derivadas:
  • Segunda derivada do numerador:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2e^{x}-2-2x\bigr)=2e^{x}-2.
(Explicação: derivada de 2e^{x} é 2e^{x}; de -2 é 0; de -2x é -2.)
  • Segunda derivada do denominador:
g''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(6x^{2}\bigr)=12x.
A nova razão é
\frac{f''(x)}{g''(x)}=\frac{2e^{x}-2}{12x}.
Ao x\to 0 temos
f''(0)=2e^{0}-2=0,\qquad g''(0)=12\cdot 0=0,
novamente 0/0. Observe também que para x\neq 0 próximo de 0, g''(x)=12x\neq 0, então a condição g''\neq 0 em uma vizinhança pontuada de 0 vale. Podemos aplicar L’Hôpital mais uma vez.

Passo 6

Aplicamos L’Hôpital pela terceira vez. Calculamos as terceiras derivadas:
  • Terceira derivada do numerador:
f^{(3)}(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2e^{x}-2\bigr)=2e^{x}.
  • Terceira derivada do denominador:
g^{(3)}(x)=\frac{d}{dx}\bigl(12x\bigr)=12.
Agora a razão é
\frac{f^{(3)}(x)}{g^{(3)}(x)}=\frac{2e^{x}}{12}.
Esse quociente é contínuo em x e seu limite quando x\to 0 é obtido substituindo x=0:
\lim_{x\to 0}\frac{2e^{x}}{12}=\frac{2e^{0}}{12}=\frac{2\cdot 1}{12}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}.
Como obtivemos um limite finito neste passo, pela aplicação iterada da Regra de L’Hôpital o limite original também vale \tfrac{1}{6}. Todas as aplicações foram justificadas: as funções envolvidas são diferenciáveis, em cada etapa a forma era 0/0, e as derivadas do denominador não eram nulas em vizinhanças pontuadas de 0 (isso garante que a regra é válida).

Passo 7

Comentário final (didático e curto): outra maneira de ver rapidamente o resultado é expandir e^{x} em série de Taylor: e^{x}=1+x+\tfrac{x^{2}}{2}+\tfrac{x^{3}}{6}+\cdots. Substituindo no numerador obtém-se 2\bigl(1+x+\tfrac{x^{2}}{2}+\tfrac{x^{3}}{6}+\cdots\bigr)-2-2x-x^{2}=\tfrac{1}{3}x^{3}+o(x^{3}). Dividindo por 2x^{3} \tfrac{1/3}{2}=\tfrac{1}{6}. Isso confirma o resultado obtido por L’Hôpital.

Resposta

\dfrac{1}{6}

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