Calcule o seguinte limite, utilizando a Regra de L’Hôpital e justificando detalhadamente cada aplicação da regra.
(i)
pontos $$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 e^{x}-2-2 x-x^{2}}{2 x^{3}}\
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite
As informações dadas são apenas a expressão do numerador e do denominador, e o ponto de interesse
. Não há outras condições ou parâmetros.
Passo 2
Primeiro checamos o tipo de indeterminação ao substituir
diretamente:
Logo a forma é
, uma indeterminação clássica onde podemos pensar em usar a Regra de L’Hôpital — desde que suas hipóteses sejam satisfeitas. A partir daqui aplicaremos L’Hôpital sucessivas vezes, justificando cada aplicação.
Passo 3
Breve lembrete (didático) da Regra de L’Hôpital, em linguagem simples: se
e
são diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
), se
para
próximo de
com
, e se
(ou ambos
), então
desde que o limite à direita exista (ou seja
). Em palavras: podemos substituir a razão pelas razões das derivadas quando a forma é indeterminada e as hipóteses valem. Aqui
e
são diferenciáveis em toda a reta (exponencial e polinômio), então podemos aplicar a regra enquanto a forma continuar indeterminada e
for não nulo em pontos distintos de
.
Passo 4
Aplicamos L’Hôpital pela primeira vez. Calculamos as derivadas:
- Derivada do numerador:
(Explicação: derivada de
é
; de
é
; de
é
; de
é
.)
- Derivada do denominador:
Pelo que a nova razão é
Verificamos a forma ao
:
ainda temos
. Além disso, para
próximo de
tem-se
, ou seja
em qualquer vizinhança pontuada de
. Portanto as hipóteses da regra permanecem satisfeitas e podemos aplicar L’Hôpital de novo.
Passo 5
Aplicamos L’Hôpital pela segunda vez. Calculamos as segundas derivadas:
- Segunda derivada do numerador:
(Explicação: derivada de
é
; de
é
; de
é
.)
- Segunda derivada do denominador:
A nova razão é
Ao
temos
novamente
. Observe também que para
próximo de
,
, então a condição
em uma vizinhança pontuada de
vale. Podemos aplicar L’Hôpital mais uma vez.
Passo 6
Aplicamos L’Hôpital pela terceira vez. Calculamos as terceiras derivadas:
- Terceira derivada do numerador:
- Terceira derivada do denominador:
Agora a razão é
Esse quociente é contínuo em
e seu limite quando
é obtido substituindo
:
Como obtivemos um limite finito neste passo, pela aplicação iterada da Regra de L’Hôpital o limite original também vale
. Todas as aplicações foram justificadas: as funções envolvidas são diferenciáveis, em cada etapa a forma era
, e as derivadas do denominador não eram nulas em vizinhanças pontuadas de
(isso garante que a regra é válida).
Passo 7
Comentário final (didático e curto): outra maneira de ver rapidamente o resultado é expandir
em série de Taylor:
. Substituindo no numerador obtém-se
. Dividindo por
dá
. Isso confirma o resultado obtido por L’Hôpital.