Considere a equação:
x^{2}+y^{2}-2 x y=1 .
(i) [18 pontos] Se f(x) é uma função dada implícitamente pela equação acima e se a reta tangente em (a, f(a)) é dada por y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a), determine a equação da reta tangente a f(x) no ponto (1,0).

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}+y^{2}-2xy=1,
onde y=f(x) é definida implicitamente por essa igualdade. Pede-se a equação da reta tangente à curva no ponto (1,0), sabendo que a reta tangente em (a,f(a)) tem a forma
y=f'(a)(x-a)+f(a).
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A curva contém o ponto (1,0) (verificar que ele satisfaz a equação).
  • Para escrever a reta tangente no ponto (1,0) precisamos de a=1, de f(1)=0 e do valor da derivada f'(1).

Passo 2

Estratégia para encontrar f'(1): como y está definida implicitamente pela relação entre x e y, obtém-se f'(x)=\dfrac{dy}{dx} diferenciando ambos os lados da equação em relação a x, lembrando que y depende de x. Antes de derivar, duas regras que serão usadas:
  • Regra da derivada da função composta (cadeia): se y=y(x), então a derivada de y^{2} em relação a x é \dfrac{d}{dx}(y^{2})=2y\,\dfrac{dy}{dx}=2y\,y'.
  • Regra do produto: se temos u(x)v(x), então \dfrac{d}{dx}(uv)=u'v+uv'. No caso de x\cdot y(x), como x tem derivada 1 e y tem derivada y', então \dfrac{d}{dx}(x y)=y + x y'.

Passo 3

Aplicando a diferenciação termo a termo à igualdade \,x^{2}+y^{2}-2xy=1 (tudo em relação a x):
  • Derivada de x^{2} é 2x.
  • Derivada de y^{2} é 2y\,y' (pela cadeia).
  • Derivada de -2xy é -2 \dfrac{d}{dx}(xy) e, pela regra do produto,
\dfrac{d}{dx}(xy)=y + x y',
portanto a derivada de -2xy é -2y -2x y'.
  • Derivada do lado direito 1 é 0.
Somando tudo:
2x + 2y\,y' -2y -2x y' = 0.

Passo 4

Isolando os termos que contêm y' e os que não contêm:
2y\,y' -2x y' + 2x -2y = 0.
Fatorando y' e rearranjando:
y'(2y -2x) + 2(x - y) = 0.
Isolando y':
y'(2y -2x) = 2(y - x).
Se 2y-2x \neq 0 podemos dividir ambos os lados por 2(y-x) e obtemos
y' = \dfrac{2(y-x)}{2(y-x)} = 1.

Passo 5

Verificação da possibilidade de divisão por 2(y-x): se existisse algum ponto da curva com y=x, então substituiríamos y=x na equação original e teríamos
x^{2}+x^{2}-2x\cdot x = 0,
isto é 0=1, o que é impossível. Logo na curva nunca ocorre y=x, portanto a divisão foi válida e a expressão y'=1 vale para todos os pontos da curva. Em particular, no ponto (1,0) temos
f'(1)=y'(1)=1.

Passo 6

Agora escrevemos a equação da reta tangente usando a=1, f(1)=0 e f'(1)=1:
y = f'(1)\bigl(x-1\bigr) + f(1) = 1\cdot(x-1)+0.
Logo a reta tangente é
y = x-1.

Resposta

y = x-1

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