Considere a equação:
(i) [18 pontos] Se
é uma função dada implícitamente pela equação acima e se a reta tangente em
é dada por
, determine a equação da reta tangente a
no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
onde
é definida implicitamente por essa igualdade. Pede-se a equação da reta tangente à curva no ponto
, sabendo que a reta tangente em
tem a forma
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A curva contém o ponto
(verificar que ele satisfaz a equação). - Para escrever a reta tangente no ponto
precisamos de , de e do valor da derivada .
Passo 2
Estratégia para encontrar
: como
está definida implicitamente pela relação entre
e
, obtém-se
diferenciando ambos os lados da equação em relação a
, lembrando que
depende de
. Antes de derivar, duas regras que serão usadas:
- Regra da derivada da função composta (cadeia): se
, então a derivada de em relação a é . - Regra do produto: se temos
, então . No caso de , como tem derivada e tem derivada , então .
Passo 3
Aplicando a diferenciação termo a termo à igualdade
(tudo em relação a
):
- Derivada de
é . - Derivada de
é (pela cadeia). - Derivada de
é e, pela regra do produto,
portanto a derivada de
é
.
- Derivada do lado direito
é .
Somando tudo:
Passo 4
Isolando os termos que contêm
e os que não contêm:
Fatorando
e rearranjando:
Isolando
:
Se
podemos dividir ambos os lados por
e obtemos
Passo 5
Verificação da possibilidade de divisão por
: se existisse algum ponto da curva com
, então substituiríamos
na equação original e teríamos
isto é
, o que é impossível. Logo na curva nunca ocorre
, portanto a divisão foi válida e a expressão
vale para todos os pontos da curva. Em particular, no ponto
temos
Passo 6
Agora escrevemos a equação da reta tangente usando
,
e
:
Logo a reta tangente é