Considere a função
(i) [4 pontos] Determine o domínio de
.
(ii)
pontos
Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de
.
(iii) [2 pontos] Determine os pontos críticos, caso existam. Caso não existam, declare explicitamente a inexistência deles.
(iv) [6 pontos] Determine os intervalos de concavidade para cima e para baixo.
(v) [2 pontos] Determine os pontos de inflexão, caso existam. Caso não existam, declare explicitamente a inexistência deles.
(vi) [2 pontos] Determine os pontos de máximo e de mínimo locais, caso existam. Caso não existam, declare explicitamente a inexistência deles.
(vii) [4 pontos] Determine as assíntotas horizontais, caso existam. Caso não existam, declare explicitamente a inexistência delas.
(viii) [4 pontos] Determine as assíntotas verticais, caso existam. Caso não existam, declare explicitamente a inexistência delas.
(ix) [2 pontos] Determine os pontos de máximo e de mínimo globais, caso existam. Caso não existam, declare explicitamente a inexistência deles.
(x) [8 pontos] Esboce o gráfico de
.
(ii)
(iii) [2 pontos] Determine os pontos críticos, caso existam. Caso não existam, declare explicitamente a inexistência deles.
(iv) [6 pontos] Determine os intervalos de concavidade para cima e para baixo.
(v) [2 pontos] Determine os pontos de inflexão, caso existam. Caso não existam, declare explicitamente a inexistência deles.
(vi) [2 pontos] Determine os pontos de máximo e de mínimo locais, caso existam. Caso não existam, declare explicitamente a inexistência deles.
(vii) [4 pontos] Determine as assíntotas horizontais, caso existam. Caso não existam, declare explicitamente a inexistência delas.
(viii) [4 pontos] Determine as assíntotas verticais, caso existam. Caso não existam, declare explicitamente a inexistência delas.
(ix) [2 pontos] Determine os pontos de máximo e de mínimo globais, caso existam. Caso não existam, declare explicitamente a inexistência deles.
(x) [8 pontos] Esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede, em itens (i)–(x), que se determine: (i) domínio; (ii) intervalos de crescimento/decrescimento; (iii) pontos críticos; (iv) intervalos de concavidade; (v) pontos de inflexão; (vi) máximos e mínimos locais; (vii) assíntotas horizontais; (viii) assíntotas verticais; (ix) máximos e mínimos globais; (x) esboço do gráfico.
Informações relevantes dadas explicitamente pelo enunciado:
- A fórmula da função é
. - Não há figuras fornecidas nem outras restrições além da própria expressão.
Passo 2
Determinar o domínio de
.
Explicação teórica rápida (sem jargões): o domínio de uma função racional
é o conjunto dos
tais que o denominador
não seja zero. Aqui o denominador é
. Vamos achar onde ele se anula:
Portanto
tornam a função indefinida. Conclusão:
Passo 3
Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento: cálculo de
e análise de sinal.
Vou simplificar a função primeiro (truque útil para derivar mais fácil):
pois
. Isso ajuda a derivar.
Derivando termo a termo (regra da cadeia para
):
Interpretação do sinal de
:
- O denominador
é sempre positivo para todo no domínio (é quadrado), então não afeta o sinal além de ser positivo. - O sinal de
vem do numerador . Logo -
quando , isto é, quando . -
quando .
-
Agora devemos quebrar em intervalos do domínio, separados por
,
e
:
- Em
: então → crescente. - Em
: então → crescente. - Em
: então → decrescente. - Em
: então → decrescente.
Portanto:
-
é crescente em . -
é decrescente em .
Passo 4
Determinar os pontos críticos (definição e aplicação).
Definição prática: pontos críticos são pontos do domínio onde
ou onde
não existe (mas
existe). Temos
- Zerar
: resolver → . E pertence ao domínio. - Onde
não existe: em o denominador anula, mas esses pontos não pertencem ao domínio de ; portanto não são pontos críticos (pois não são pontos da função).
Conclusão: o único ponto crítico é
(com
).
Passo 5
Determinar concavidade: cálculo de
e análise de sinal.
Cálculo passo a passo (uso da forma
e regra do produto/ cadeia):
Derivando:
Simplificando o segundo termo:
. Então
Colocando fator comum
:
Expandindo e simplificando:
Portanto
Análise de sinal:
- O numerador
é estritamente positivo para todo . - O sinal de
é o sinal de , isto é, do fator no denominador: - Se
(ou seja, ), então e → concavidade para cima. - Se
(ou seja, ), então e → concavidade para baixo.
- Se
Portanto:
-
é côncava para cima em . -
é côncava para baixo em .
Passo 6
Determinar pontos de inflexão (definição e aplicação).
Definição prática: ponto de inflexão é um ponto do domínio onde a concavidade muda (isto é,
muda de sinal) e que pertence ao domínio (a função está definida ali).
Observação dos sinais de concavidade:
- Para
: concava para cima. - Para
: concava para baixo. - Para
: concava para cima.
Há mudança de concavidade em
, mas
não pertencem ao domínio (são pontos onde a função não está definida). Em
(único ponto interior do intervalo
) a concavidade não muda: em ambos lados de
(no intervalo
) a concavidade é para baixo. Como pontos de inflexão precisam pertencer ao domínio e ter mudança de concavidade, concluímos:
Não existem pontos de inflexão no domínio de
.
Passo 7
Determinar máximos e mínimos locais usando a variação de sinal de
em torno do ponto crítico
.
Já vimos que:
- Para
(no intervalo imediatamente à esquerda de ) temos (função crescente). - Para
(no intervalo imediatamente à direita de ) temos (função decrescente).
Portanto em
a função passa de crescente para decrescente, caracterizando um ponto de máximo local. Valor:
Conclusão:
- Há um máximo local em
, ponto . - Não há mínimos locais (nenhum ponto crítico causa mínimo).
Passo 8
Determinar assíntotas verticais.
Assíntotas verticais ocorrem onde o denominador vai a zero (e o numerador não zera de modo a cancelar), normalmente gerando limites infinitos. Aqui
anulam o denominador e o numerador em
é
, não zero, então ambos são candidatos a assíntotas verticais. Vamos verificar os limites laterais para caracterizar o comportamento:
Comportamento em
:
Comportamento em
:
Assim
e
são assíntotas verticais.
Passo 9
Determinar assíntotas horizontais.
Assíntotas horizontais correspondem aos limites quando
. Como
, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes principais (ambos 1), ou podemos calcular limite:
Então existe uma assíntota horizontal:
Observação extra (útil ao desenhar): para grandes
temos
, isto é, a curva aproxima-se de
vindo de cima (valores maiores que 1) para
grandes.
Passo 10
Determinar máximos e mínimos globais.
Para existir máximo global, a função deveria atingir um valor maior ou igual a todos os demais valores no domínio. Aqui a função assume valores arbitrariamente grandes positivos (por exemplo, ao aproximar
de
ou de
temos
). Logo não existe máximo global finito. Para mínimo global, observe que a função também atinge valores arbitrariamente negativos (por exemplo,
ou
dão
). Portanto não existe mínimo global finito. Conclusão:
Não existem máximos nem mínimos globais.
Passo 11
Esboço do gráfico — instruções passo a passo e pontos principais para desenhar.
Pontos e características úteis para desenhar à mão:
- Domínio:
, , . - Assíntotas verticais:
e . - Assíntota horizontal:
. - Intercepto em
e em : (único zero da função). - Crescimento/decrescimento:
- Crescente em
e . - Decrescente em
e .
- Crescente em
- Concavidade:
- Côncava para cima em
e . - Côncava para baixo em
.
- Côncava para cima em
- Máximo local:
(ponto de máximo local). - Comportamento próximo às assíntotas:
-
: ; : . -
: ; : .
-
- Valores de referência para ajudar no esboço:
-
. -
. -
. -
(mostra queda grande antes de ).
-
- Como desenhar em cada intervalo:
- Para
: parte à esquerda, côncava para cima, crescente, aproximando-se de por cima quando , e indo para quando . - Para
: cai de (em ) e sobe até , côncava para baixo e crescente. - Para
: decresce de até (em ), côncava para baixo. - Para
: vem de (em ), decresce, côncava para cima e aproxima-se de por cima quando .
- Para
Com esses elementos é possível traçar um esboço correto: assíntotas verticais
, assíntota horizontal
, ponto
máximo local, curvas que divergem para
ou
nas laterais das assíntotas conforme indicado, e aproximação a
para grandes
.
Resposta
(i)
(ii)
é crescente em
e decrescente em
(iii) Ponto crítico:
(único).
(iv)
é côncava para cima em
e côncava para baixo em
(v) Não existem pontos de inflexão no domínio de
.
(vi) Máximo local em
. Não existem mínimos locais.
(vii) Assíntota horizontal:
.
(viii) Assíntotas verticais:
e
.
(ix) Não existem máximos nem mínimos globais (a função atinge
perto das assíntotas).
(x) Esboço: curva com assíntotas verticais
e horizontal
; partindo da esquerda, ramo em
crescente e côncavo para cima que tende a
quando
e a
quando
; em
ramo crescente e côncavo para baixo vindo de
em
até o máximo local
; em
ramo decrescente e côncavo para baixo de
até
em
; em
ramo decrescente e côncavo para cima vindo de
em
e aproximando-se de
quando
.