Considere a função
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-1} .
(i) [4 pontos] Determine o domínio de f.
(ii) [6 pontos ] Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de f.
(iii) [2 pontos] Determine os pontos críticos, caso existam. Caso não existam, declare explicitamente a inexistência deles.
(iv) [6 pontos] Determine os intervalos de concavidade para cima e para baixo.
(v) [2 pontos] Determine os pontos de inflexão, caso existam. Caso não existam, declare explicitamente a inexistência deles.
(vi) [2 pontos] Determine os pontos de máximo e de mínimo locais, caso existam. Caso não existam, declare explicitamente a inexistência deles.
(vii) [4 pontos] Determine as assíntotas horizontais, caso existam. Caso não existam, declare explicitamente a inexistência delas.
(viii) [4 pontos] Determine as assíntotas verticais, caso existam. Caso não existam, declare explicitamente a inexistência delas.
(ix) [2 pontos] Determine os pontos de máximo e de mínimo globais, caso existam. Caso não existam, declare explicitamente a inexistência deles.
(x) [8 pontos] Esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-1}
e pede, em itens (i)–(x), que se determine: (i) domínio; (ii) intervalos de crescimento/decrescimento; (iii) pontos críticos; (iv) intervalos de concavidade; (v) pontos de inflexão; (vi) máximos e mínimos locais; (vii) assíntotas horizontais; (viii) assíntotas verticais; (ix) máximos e mínimos globais; (x) esboço do gráfico.
Informações relevantes dadas explicitamente pelo enunciado:
  • A fórmula da função é \displaystyle f(x)=\dfrac{x^{2}}{x^{2}-1}.
  • Não há figuras fornecidas nem outras restrições além da própria expressão.

Passo 2

Determinar o domínio de f.
Explicação teórica rápida (sem jargões): o domínio de uma função racional \dfrac{p(x)}{q(x)} é o conjunto dos x tais que o denominador q(x) não seja zero. Aqui o denominador é x^{2}-1. Vamos achar onde ele se anula:
x^{2}-1=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 1.
Portanto x=\pm 1 tornam a função indefinida. Conclusão:
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{\,-1,1\,\} = (-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty).

Passo 3

Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento: cálculo de f'(x) e análise de sinal.
Vou simplificar a função primeiro (truque útil para derivar mais fácil):
\frac{x^{2}}{x^{2}-1} = 1 + \frac{1}{x^{2}-1},
pois x^{2}=(x^{2}-1)+1. Isso ajuda a derivar.
Derivando termo a termo (regra da cadeia para 1/(x^{2}-1)):
f'(x)=0 + \left(\frac{1}{x^{2}-1}\right)' = -\frac{(x^{2}-1)'}{(x^{2}-1)^{2}} = -\frac{2x}{(x^{2}-1)^{2}}.
Interpretação do sinal de f'(x):
  • O denominador (x^{2}-1)^{2} é sempre positivo para todo x no domínio (é quadrado), então não afeta o sinal além de ser positivo.
  • O sinal de f'(x) vem do numerador -2x. Logo
    • f'(x)>0 quando -2x>0, isto é, quando x<0.
    • f'(x)<0 quando x>0.
Agora devemos quebrar em intervalos do domínio, separados por -1, 0 e 1:
  • Em (-\infty,-1): x<0 então f'(x)>0 → crescente.
  • Em (-1,0): x<0 então f'(x)>0 → crescente.
  • Em (0,1): x>0 então f'(x)<0 → decrescente.
  • Em (1,\infty): x>0 então f'(x)<0 → decrescente.
Portanto:
  • f é crescente em (-\infty,-1)\cup(-1,0).
  • f é decrescente em (0,1)\cup(1,\infty).

Passo 4

Determinar os pontos críticos (definição e aplicação).
Definição prática: pontos críticos são pontos do domínio onde f'(x)=0 ou onde f' não existe (mas f existe). Temos
f'(x)=-\frac{2x}{(x^{2}-1)^{2}}.
  • Zerar f'(x): resolver -2x=0 x=0. E x=0 pertence ao domínio.
  • Onde f' não existe: em x=\pm 1 o denominador anula, mas esses pontos não pertencem ao domínio de f; portanto não são pontos críticos (pois não são pontos da função).
Conclusão: o único ponto crítico é x=0 (com f(0)=0).

Passo 5

Determinar concavidade: cálculo de f''(x) e análise de sinal.
Cálculo passo a passo (uso da forma f'(x)=-2x(x^{2}-1)^{-2} e regra do produto/ cadeia):
f''(x) = \frac{d}{dx}\Big(-2x(x^{2}-1)^{-2}\Big).
Derivando:
f''(x) = -2\,(x^{2}-1)^{-2} + (-2x)\cdot(-2)\,(x^{2}-1)^{-3}\cdot(2x).
Simplificando o segundo termo: (-2x)\cdot(-2)\cdot(2x)=8x^{2}. Então
f''(x) = -2(x^{2}-1)^{-2} + 8x^{2}(x^{2}-1)^{-3}.
Colocando fator comum (x^{2}-1)^{-3}:
f''(x) = (x^{2}-1)^{-3}\big(-2(x^{2}-1)+8x^{2}\big).
Expandindo e simplificando:
-2(x^{2}-1)+8x^{2} = -2x^{2}+2+8x^{2} = 6x^{2}+2 = 2(3x^{2}+1).
Portanto
f''(x)=\frac{2(3x^{2}+1)}{(x^{2}-1)^{3}}.
Análise de sinal:
  • O numerador 2(3x^{2}+1) é estritamente positivo para todo x.
  • O sinal de f''(x) é o sinal de (x^{2}-1)^{-3}, isto é, do fator (x^{2}-1)^{3} no denominador:
    • Se x^{2}-1>0 (ou seja, |x|>1), então (x^{2}-1)^{3}>0 e f''(x)>0 → concavidade para cima.
    • Se x^{2}-1<0 (ou seja, |x|<1), então (x^{2}-1)^{3}<0 e f''(x)<0 → concavidade para baixo.
Portanto:
  • f é côncava para cima em (-\infty,-1)\cup(1,\infty).
  • f é côncava para baixo em (-1,1).

Passo 6

Determinar pontos de inflexão (definição e aplicação).
Definição prática: ponto de inflexão é um ponto do domínio onde a concavidade muda (isto é, f'' muda de sinal) e que pertence ao domínio (a função está definida ali).
Observação dos sinais de concavidade:
  • Para x<-1: concava para cima.
  • Para -1<x<1: concava para baixo.
  • Para x>1: concava para cima.
Há mudança de concavidade em x=\pm 1, mas x=\pm 1 não pertencem ao domínio (são pontos onde a função não está definida). Em x=0 (único ponto interior do intervalo (-1,1)) a concavidade não muda: em ambos lados de 0 (no intervalo (-1,1)) a concavidade é para baixo. Como pontos de inflexão precisam pertencer ao domínio e ter mudança de concavidade, concluímos:
Não existem pontos de inflexão no domínio de f.

Passo 7

Determinar máximos e mínimos locais usando a variação de sinal de f' em torno do ponto crítico x=0.
Já vimos que:
  • Para x<0 (no intervalo imediatamente à esquerda de 0) temos f'(x)>0 (função crescente).
  • Para x>0 (no intervalo imediatamente à direita de 0) temos f'(x)<0 (função decrescente).
Portanto em x=0 a função passa de crescente para decrescente, caracterizando um ponto de máximo local. Valor:
f(0)=\frac{0^{2}}{0^{2}-1}=0.
Conclusão:
  • Há um máximo local em x=0, ponto \,(0,0).
  • Não há mínimos locais (nenhum ponto crítico causa mínimo).

Passo 8

Determinar assíntotas verticais.
Assíntotas verticais ocorrem onde o denominador vai a zero (e o numerador não zera de modo a cancelar), normalmente gerando limites infinitos. Aqui x=\pm 1 anulam o denominador e o numerador em x=\pm 1 é x^{2}=1, não zero, então ambos são candidatos a assíntotas verticais. Vamos verificar os limites laterais para caracterizar o comportamento:
Comportamento em x\to 1:
\lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^-}\frac{x^{2}}{x^{2}-1} = -\infty, \qquad \lim_{x\to 1^+} f(x)=\lim_{x\to 1^+}\frac{x^{2}}{x^{2}-1}=+\infty.
Comportamento em x\to -1:
\lim_{x\to -1^-} f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to -1^+} f(x)=-\infty.
Assim x=1 e x=-1 são assíntotas verticais.

Passo 9

Determinar assíntotas horizontais.
Assíntotas horizontais correspondem aos limites quando x\to\pm\infty. Como \deg(\text{numerador})=\deg(\text{denominador})=2, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes principais (ambos 1), ou podemos calcular limite:
\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^{2}}{x^{2}-1} = 1.
Então existe uma assíntota horizontal:
y=1.
Observação extra (útil ao desenhar): para grandes |x| temos f(x)=1+\dfrac{1}{x^{2}-1}>1, isto é, a curva aproxima-se de y=1 vindo de cima (valores maiores que 1) para |x| grandes.

Passo 10

Determinar máximos e mínimos globais.
Para existir máximo global, a função deveria atingir um valor maior ou igual a todos os demais valores no domínio. Aqui a função assume valores arbitrariamente grandes positivos (por exemplo, ao aproximar x de 1^+ ou de (-1)^- temos f\to +\infty). Logo não existe máximo global finito. Para mínimo global, observe que a função também atinge valores arbitrariamente negativos (por exemplo, x\to 1^- ou x\to -1^+ dão f\to -\infty). Portanto não existe mínimo global finito. Conclusão:
Não existem máximos nem mínimos globais.

Passo 11

Esboço do gráfico — instruções passo a passo e pontos principais para desenhar.
Pontos e características úteis para desenhar à mão:
  • Domínio: (-\infty,-1), (-1,1), (1,\infty).
  • Assíntotas verticais: x=-1 e x=1.
  • Assíntota horizontal: y=1.
  • Intercepto em y e em x: (0,0) (único zero da função).
  • Crescimento/decrescimento:
    • Crescente em (-\infty,-1) e (-1,0).
    • Decrescente em (0,1) e (1,\infty).
  • Concavidade:
    • Côncava para cima em (-\infty,-1) e (1,\infty).
    • Côncava para baixo em (-1,1).
  • Máximo local: (0,0) (ponto de máximo local).
  • Comportamento próximo às assíntotas:
    • x\to 1^-: f\to -\infty; x\to 1^+: f\to +\infty.
    • x\to -1^-: f\to +\infty; x\to -1^+: f\to -\infty.
  • Valores de referência para ajudar no esboço:
    • f(2)=\dfrac{4}{3}\approx 1{,}333.
    • f(-2)=\dfrac{4}{3}.
    • f(0,5)=\dfrac{0{,}25}{-0{,}75}=-\dfrac{1}{3}\approx -0{,}333.
    • f(0{,}9)=\dfrac{0{,}81}{-0{,}19}\approx -4{,}263 (mostra queda grande antes de x=1).
  • Como desenhar em cada intervalo:
    • Para x<-1: parte à esquerda, côncava para cima, crescente, aproximando-se de y=1 por cima quando x\to-\infty, e indo para +\infty quando x\to -1^-.
    • Para -1<x<0: cai de -\infty (em -1^+) e sobe até (0,0), côncava para baixo e crescente.
    • Para 0<x<1: decresce de 0 até -\infty (em 1^-), côncava para baixo.
    • Para x>1: vem de +\infty (em 1^+), decresce, côncava para cima e aproxima-se de y=1 por cima quando x\to+\infty.
Com esses elementos é possível traçar um esboço correto: assíntotas verticais x=\pm1, assíntota horizontal y=1, ponto (0,0) máximo local, curvas que divergem para +\infty ou -\infty nas laterais das assíntotas conforme indicado, e aproximação a y=1 para grandes |x|.

Resposta

(i) \text{Dom}(f)=(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty).
(ii) f é crescente em (-\infty,-1)\cup(-1,0) e decrescente em (0,1)\cup(1,\infty).
(iii) Ponto crítico: x=0 (único).
(iv) f é côncava para cima em (-\infty,-1)\cup(1,\infty) e côncava para baixo em (-1,1).
(v) Não existem pontos de inflexão no domínio de f.
(vi) Máximo local em (0,0). Não existem mínimos locais.
(vii) Assíntota horizontal: y=1.
(viii) Assíntotas verticais: x=-1 e x=1.
(ix) Não existem máximos nem mínimos globais (a função atinge \pm\infty perto das assíntotas).
(x) Esboço: curva com assíntotas verticais x=\pm1 e horizontal y=1; partindo da esquerda, ramo em (-\infty,-1) crescente e côncavo para cima que tende a y=1^+ quando x\to-\infty e a +\infty quando x\to-1^-; em (-1,0) ramo crescente e côncavo para baixo vindo de -\infty em -1^+ até o máximo local (0,0); em (0,1) ramo decrescente e côncavo para baixo de 0 até -\infty em 1^-; em (1,\infty) ramo decrescente e côncavo para cima vindo de +\infty em 1^+ e aproximando-se de y=1^+ quando x\to+\infty.

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