Calcule as derivadas das funções abaixo, mostrando as etapas principais e simplificando o resultado.
(i) \left[16\right. pontos] f(x)=x \ln x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=x\ln x^{2}.
Informações claras que temos:
  • A função está definida para todo x tal que x^{2}>0, isto é, para x\neq0.
  • A tarefa é obter f'(x), mostrando as etapas e simplificando o resultado.

Passo 2

Ferramentas que vamos usar (com explicação didática):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui u(x)=x e v(x)=\ln x^{2}.
  • Regra da cadeia: se g(x)=h(k(x)), então
g'(x)=h'(k(x))\cdot k'(x).
No caso de v(x)=\ln(x^{2}) podemos ver h(t)=\ln t e k(x)=x^{2}.
  • Derivada de \ln t: para t>0,
\frac{d}{dt}\ln t=\frac{1}{t}.
Aplicando a regra da cadeia a v(x)=\ln(x^{2}) teremos (\ln(x^{2}))'=\dfrac{(x^{2})'}{x^{2}}.
  • Derivada de potências simples: \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x e \dfrac{d}{dx}x=1.
Explicação curta: vamos usar a regra do produto porque f é produto de x por \ln(x^{2}); ao derivar \ln(x^{2}) usamos a cadeia: derivada de \ln vezes derivada de x^{2}.

Passo 3

Aplicando a regra do produto a f(x)=x\cdot\ln x^{2}:
f'(x)=\frac{d}{dx}(x)\cdot\ln x^{2}+x\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\ln x^{2}\bigr).
Calculando cada termo:
\frac{d}{dx}(x)=1.
Para o segundo termo, usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(\ln x^{2}\bigr)=\frac{(x^{2})'}{x^{2}}=\frac{2x}{x^{2}}=\frac{2}{x},
válido para x\neq0 porque usamos divisão por x^{2}.
Substituindo:
f'(x)=1\cdot\ln x^{2}+x\cdot\frac{2}{x}=\ln x^{2}+2.

Passo 4

Simplificação final e observação sobre o logaritmo:
  • Podemos usar a identidade \ln x^{2}=2\ln|x| (essa forma com valor absoluto é a correta para qualquer x\neq0).
    Portanto uma forma mais compacta e muitas vezes mais conveniente é
f'(x)=2\ln|x|+2=2\bigl(\ln|x|+1\bigr),
válida para x\neq0.

Resposta

f'(x)=\ln x^{2}+2=2\bigl(\ln|x|+1\bigr),\quad x\neq0

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