Calcule as derivadas das funções abaixo, mostrando as etapas principais e simplificando o resultado.
(i)
pontos]
(i)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações claras que temos:
- A função está definida para todo
tal que , isto é, para . - A tarefa é obter
, mostrando as etapas e simplificando o resultado.
Passo 2
Ferramentas que vamos usar (com explicação didática):
- Regra do produto: se
e são funções diferenciáveis, então
Aqui
e
.
- Regra da cadeia: se
, então
No caso de
podemos ver
e
.
- Derivada de
: para ,
Aplicando a regra da cadeia a
teremos
.
- Derivada de potências simples:
e .
Explicação curta: vamos usar a regra do produto porque
é produto de
por
; ao derivar
usamos a cadeia: derivada de
vezes derivada de
.
Passo 3
Aplicando a regra do produto a
:
Calculando cada termo:
Para o segundo termo, usando a regra da cadeia:
válido para
porque usamos divisão por
.
Substituindo:
Passo 4
Simplificação final e observação sobre o logaritmo:
- Podemos usar a identidade
(essa forma com valor absoluto é a correta para qualquer ).
Portanto uma forma mais compacta e muitas vezes mais conveniente é
válida para
.