Calcule os seguinte limites, se existirem:
(2.0) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left[\frac{x^{4}-y^{4}}{x^{2}+y^{2}}\right]^{2}

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
f(x,y) = \left[\frac{x^{4}-y^{4}}{x^{2}+y^{2}}\right]^{2}
quando (x,y)\to(0,0). O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos usar fatoração para simplificar o quociente.

Passo 2

Fatoramos o numerador usando a diferença de quadrados:
x^{4}-y^{4} = (x^{2}-y^{2})(x^{2}+y^{2}).

Passo 3

Substituímos na fração:
\frac{x^{4}-y^{4}}{x^{2}+y^{2}} = \frac{(x^{2}-y^{2})(x^{2}+y^{2})}{x^{2}+y^{2}} = x^{2}-y^{2}.

Passo 4

Logo a função se reduz a
f(x,y) = (x^{2}-y^{2})^{2}.
Como isso é um polinômio em x e y, é contínuo em todo lugar e, em particular,
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) = (0^{2}-0^{2})^{2} = 0.

Resposta

0

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