Determine se as sequèncias abaixo convergem. Justifique!
\mathrm{a}_{n}=\frac{(n+1)^{n}}{n^{n+1}}

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da sequência
a_{n} = \frac{(n+1)^{n}}{n^{\,n+1}}
Estamos em um tópico de limites de sequências e vamos precisar usar a forma clássica de \bigl(1+\tfrac1n\bigr)^n que leva ao número e.

Passo 2

Reescrevemos a_n destacando o fator \bigl(1+\tfrac1n\bigr)^n. Note que
\frac{(n+1)^{n}}{n^{\,n+1}} = \frac{(n+1)^{n}}{n^{n}}\;\frac{1}{n} = \Bigl(\frac{n+1}{n}\Bigr)^{n}\,\frac{1}{n} = \Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{n}\,\frac{1}{n}.

Passo 3

É conhecido que
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{n} = e.
Isso decorre da definição do número de Euler e.

Passo 4

Também temos
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 0.

Passo 5

Como o produto de duas sequências convergentes convergirá ao produto dos limites (quando um deles é finito), segue que
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{n}\;\times\;\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = e \times 0 = 0.
Portanto, a_{n} converge.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 0.

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