Calcule os seguinte limites.
lim x 0 e^x-(1+x+x^2 / 2)x^3

Passo 1

O exercício pede para calcular o limite limxto0dfrace^x - (1 + x + x^2/2)x^3. O conteúdo envolvido é limite de função e vamos usar a expansão em série de Taylor de e^x para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a forma da expressão ao substituir x=0: tanto o numerador e^0 - (1 + 0 + 0^2/2)=0 quanto o denominador 0^3=0, configurando uma indeterminação do tipo 0/0.

Passo 3

Para resolver indeterminações do tipo 0/0, uma abordagem eficiente é usar a série de Taylor de e^x em torno de zero até a ordem necessária:
e^x = 1 + x + x^22 + x^36 + O(x^4)

Passo 4

Substituindo essa expansão no numerador temos:
$$e^x - \bigl(1 + x + \tfrac{x^2}{2}\bigr) = \frac{x^3}{6} + O(x^4).
$$Dividindo por e^x - l(1 + x + tfracx^22r) = x^36 + O(x^4) fica
x^3

Passo 5

Como xto0, o termo O(x) tende a zero, de modo que o limite coincide com o coeficiente constante da expressão obtida.

Resposta

1/6

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