Calcule os seguinte limites.
Passo 1
O exercício pede para calcular o limite
. O conteúdo envolvido é limite de função e vamos usar a expansão em série de Taylor de
para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a forma da expressão ao substituir
: tanto o numerador
quanto o denominador
, configurando uma indeterminação do tipo
.
Passo 3
Para resolver indeterminações do tipo
, uma abordagem eficiente é usar a série de Taylor de
em torno de zero até a ordem necessária:
Passo 4
Substituindo essa expansão no numerador temos:
$$e^x - \bigl(1 + x + \tfrac{x^2}{2}\bigr) = \frac{x^3}{6} + O(x^4).
$$Dividindo por
fica
Passo 5
Como
, o termo
tende a zero, de modo que o limite coincide com o coeficiente constante da expressão obtida.
Resposta
1/6