Calcule os seguinte limites.
lim x infty e^a xx^n=0, a>0, n in N

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxtoinftye^axx^n, com a>0 e ninN. O conteúdo principal aqui é comparação de crescimento entre exponencial e polinômio, usando a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Tanto o numerador e^ax quanto o denominador x^n tendem a +infty quando xtoinfty, de modo que temos uma forma indeterminada tfracinftyinfty. Então podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador: Depois de aplicar a Regra de L’Hôpital uma vez obtemos
limxtoinftye^axx^n=limxtoinftya,e^axn,x^n-1=annobreakspacelimxtoinftye^axx^n-1

Passo 3

Como ainda ficamos com a forma tfracinftyinfty, repetimos o procedimento mais (n-1) vezes. Cada aplicação introduz um fator tfracanovo expoente e reduz o expoente de x em 1. Depois de n aplicações temos
limxtoinftye^axx^n=a^nn!nobreakspacelimxtoinftye^ax=a^nn!cdot(+infty)=+infty

Passo 4

Portanto o exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio, fazendo o quociente divergir para +infty.

Resposta

+infty

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