Calcule os seguinte limites:
lim x infty (x^3+2 x)^2(2 x-1)^3 cdot(x^3-1);

Passo 1

O enunciado pede
limxtoinftydfrac(x^3+2x)^2(2x-1)^3,(x^3-1).
O conteúdo é limite de função racional no infinito; vamos usar a idéia de fatorar a maior potência de x no numerador e no denominador para identificar o comportamento dominante.

Passo 2

Fatoramos x em cada polinômio:
(x^3+2x)^2 = l[xl(x^2+2r)r]^2 = x^6l(1+tfrac2x^2r)^2,
(2x-1)^3,(x^3-1) = l[2xl(1-tfrac12xr)r]^3 cdot l[x^3l(1-tfrac1x^3r)r] = 8,x^6l(1-tfrac12xr)^3l(1-tfrac1x^3r)
Portanto a expressão vira
(x^3+2x)^2(2x-1)^3(x^3-1) = x^6l(1+tfrac2x^2r)^28,x^6l(1-tfrac12xr)^3l(1-tfrac1x^3r) = 18,l(1+tfrac2x^2r)^2l(1-tfrac12xr)^3l(1-tfrac1x^3r)

Passo 3

Como xtoinfty, temos tfrac2x^2to0, tfrac12xto0 e tfrac1x^3to0. Logo
l(1+tfrac2x^2r)^2to1, l(1-tfrac12xr)^3to1, l(1-tfrac1x^3r)to1
Isso implica que o quociente interno tende a 1, de modo que o limite é

Resposta

18.

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