Determine a transformada de Fourier das funções abaixo:
f(t)=e^-a t^2, a>0

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier da função
f(t)=e^-a t^2, a>0
O conteúdo que vamos usar é a definição da transformada de Fourier e o cálculo de integrais gaussianas via completar o quadrado.

Passo 2

Adotamos a convenção
Ff(omega) =integral-infty^inftyf(t),e^-iomega t,dt

Passo 3

Substituindo f(t)=e^-a t^2 na definição, temos
Ff(omega) =integral-infty^inftye^-a t^2,e^-iomega t,dt =integral-infty^inftyexpl(-a t^2-iomega tr),dt

Passo 4

No expoente completamos o quadrado:
-a t^2-iomega t =-al(t^2+iomegaatr) =-al(t+iomega2ar)^2 -omega^24a
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Ff(omega) =e^-omega^24a integral-infty^infty exp!l(-al(t+tfraciomega2ar)^2r),dt

Passo 5

Fazendo a mudança de variável
u=t+tfraciomega2a,
a reta de integração no plano complexo se desloca, mas o valor da integral gaussiana não muda:
integral-infty^infty exp(-a,u^2),du =raizpia
Portanto
Ff(omega) =e^-omega^24a raizpia

Resposta

boxed Fe^-a t^2(omega) =raizpia;exp!gl(-omega^24agr)

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