Determine a transformada de Fourier das funções abaixo:
f(t)=l-1 se -1<t<0 1 se 0<t<1 0 se t <=-1 ou t >= 1

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier da função
f(t)= -1, & -1<t<0, -1, & 0<t<1, -0, & t<=-1 ou t>=1
O conteúdo é a definição de transformada de Fourier para funções de suporte limitado, que usaremos em
Ff(omega)=integral-infty^inftyf(t),e^-iomega t,dt

Passo 2

Como f(t) é zero fora de (-1,1), escrevemos
Ff(omega) =integral-1^0(-1),e^-iomega t,dt +integral0^11cdot e^-iomega t,dt

Passo 3

Calculemos cada integral separadamente:
Para I1=integral-1^0(-1)e^-iomega t,dt, temos
I1=-integral-1^0e^-iomega t,dt =-l[e^-iomega t-iomegar]t=-1^t=0 =1-e^iomegaiomega
Para I2=integral0^1e^-iomega t,dt,
I2=l[e^-iomega t-iomegar]t=0^t=1 =1-e^-iomegaiomega

Passo 4

Somando I1 e I2,
Ff(omega) =1-e^iomegaiomega+1-e^-iomegaiomega =2 -l(e^iomega+e^-iomegar)iomega =2-2cosomegaiomega

Passo 5

Usando a identidade 1-cosomega=2sin^2(tfracomega2), obtemos a forma alternativa
Ff(omega) =2,1-cosomegaiomega =4sin^2!l(tfracomega2r)iomega =-4i,sin^2!l(tfracomega2r)omega

Resposta

boxedFf(omega) =2l(1-cosomegar)iomega =-4i,sin^2!l(tfracomega2r)omega

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