calcule os seguintes determinantes. Justifique sua resposta em cada caso.
|ccc a & b & c 2 d & 2 e & 2 f g+3 a & h+3 b & i+3 c |
Passo 1
A questão dá o valor do determinante da matriz original
A = a & b & c d & e & f g & h & i
como sendo 5 e pede o determinante da matriz
B = a & b & c 2d & 2e & 2f g+3a & h+3b & i+3c
O conteúdo usado aqui são as propriedades de operações elementares em linhas de uma matriz para determinantes.
Passo 2
Para passar de A a B, vemos duas operações nas linhas:
a segunda linha de B é o dobro da segunda linha de A (R₂ → 2R₂);
a terceira linha de B é a soma da terceira linha de A com 3 vezes a primeira linha de A (R₃ → R₃ + 3R₁).
Passo 3
Ao multiplicar uma linha de uma matriz por um escalar k, o determinante da matriz é multiplicado por k. Aqui, R₂ foi multiplicada por 2, então o novo determinante vale 2 vezes o original.
Passo 4
Ao adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha, o determinante não se altera. Como R₃ foi trocada por R₃ + 3R₁, o determinante permanece o mesmo após essa operação.
Passo 5
Combinando os efeitos, o determinante de B é 2 vezes o determinante de A, ou seja, 2·5.