Calcule os seguinte limites:
lim x pi2 tg x-sec x+cos xcos x.

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto pi2tan x - sec x + cos xcos x
Esse é um problema de limites envolvendo funções trigonométricas que tende a uma forma indeterminada 0/0. Vamos usar identidades trigonométricas para simplificar e, em seguida, desenvolver em série de Taylor ao redor de x=pi2.

Passo 2

Primeiro escrevemos tudo em termos de sin x e cos x:
tan x = sin xcos x, sec x = 1cos x
Assim o numerador fica
tan x - sec x + cos x = sin xcos x - 1cos x + cos x = sin x - 1cos x + cos x
Logo a expressão inteira é
sin x - 1cos x + cos xcos x = sin x - 1 + cos^2 xcos^2 x

Passo 3

Ao avaliar em x=pi2 temos
sin!l(tfracpi2r)=1, cos!l(tfracpi2r)=0,
logo tanto o numerador sin x -1 +cos^2 x quanto o denominador cos^2 x vão a zero, caracterizando uma indeterminação 0/0. Introduzimos
h = x - pi2,
de modo que hto0 quando xtopi2. Então
sin x = sinl(tfracpi2+hr)=cos h, cos x = cosl(tfracpi2+hr)=-sin h

Passo 4

Expandimos em Taylor ao redor de h=0 até ordem h^2:
cos h = 1 - h^22 + O(h^4), sin h = h - h^36 + O(h^5)
Daí
sin x - 1 = cos h - 1 = -h^22 + O(h^4), cos^2 x = sin^2 h = h^2 + O(h^4)
O numerador torna-se
sin x -1 + cos^2 x = l(-tfrach^22 + O(h^4)r) + l(h^2 + O(h^4)r) = h^22 + O(h^4),
e o denominador é
cos^2 x = h^2 + O(h^4)
Portanto a razão vale
sin x -1 + cos^2 xcos^2 x = h^22 + O(h^4)h^2 + O(h^4) longrightarrow 12 quando hto0

Resposta

12.

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