Calcule os seguinte limites:
.
Passo 1
O enunciado pede calcular
Esse é um problema de limites envolvendo funções trigonométricas que tende a uma forma indeterminada
. Vamos usar identidades trigonométricas para simplificar e, em seguida, desenvolver em série de Taylor ao redor de
.
Passo 2
Primeiro escrevemos tudo em termos de
e
:
Assim o numerador fica
Logo a expressão inteira é
Passo 3
Ao avaliar em
temos
logo tanto o numerador
quanto o denominador
vão a zero, caracterizando uma indeterminação
. Introduzimos
de modo que
quando
. Então
Passo 4
Expandimos em Taylor ao redor de
até ordem
:
Daí
O numerador torna-se
e o denominador é
Portanto a razão vale