Calcule
nos seguintes casos:
e
Passo 1
O exercício pede para calcular as derivadas parciais de uma função composta, ou seja, aplicar a regra da cadeia. Aqui temos
w é dada por u² + v³, onde u e v são funções de x e y. Vamos usar a teoria de derivadas parciais e a regra da cadeia passo a passo.
w é dada por u² + v³, onde u e v são funções de x e y. Vamos usar a teoria de derivadas parciais e a regra da cadeia passo a passo.
Passo 2
Identificamos a função externa e suas derivadas parciais:
Para w(u,v)=u²+v³, aplicando a regra do poder, temos:
Para w(u,v)=u²+v³, aplicando a regra do poder, temos:
Isso é a parte da regra da cadeia que fixa cada variável interna.
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais de u e v em relação a x:
Passo 4
Aplicamos a regra da cadeia para
:
Substituindo:
Passo 5
Voltamos ao u e v originais para escrever em termos de x e y:
Expandindo:
Somando tudo:
.
Passo 6
Agora repetimos para y: primeiro
e
:
Passo 7
Aplicando a regra da cadeia para
:
Substituindo:
Passo 8
Em termos de x e y:
Expandindo:
Somando:
.