Calcule nos seguintes casos:
e

Passo 1

O exercício pede para calcular as derivadas parciais de uma função composta, ou seja, aplicar a regra da cadeia. Aqui temos
w é dada por u² + v³, onde u e v são funções de x e y. Vamos usar a teoria de derivadas parciais e a regra da cadeia passo a passo.

Passo 2

Identificamos a função externa e suas derivadas parciais:
Para w(u,v)=u²+v³, aplicando a regra do poder, temos:
partial wpartial u=2u, partial wpartial v=3v^2
Isso é a parte da regra da cadeia que fixa cada variável interna.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de u e v em relação a x:
u=3x-y implies partial upartial x=3,
v=x+2y implies partial vpartial x=1

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia para partial wpartial x:
partial wpartial x=partial wpartial ucdotpartial upartial x+partial wpartial vcdotpartial vpartial x
Substituindo:
partial wpartial x=2ucdot3+3v^2cdot1=6u+3v^2

Passo 5

Voltamos ao u e v originais para escrever em termos de x e y:
6u+3v^2=6(3x-y)+3(x+2y)^2
Expandindo:
6(3x-y)=18x-6y,
3(x+2y)^2=3(x^2+4xy+4y^2)=3x^2+12xy+12y^2
Somando tudo: partial wpartial x=3x^2+18x+12xy-6y+12y^2.

Passo 6

Agora repetimos para y: primeiro partial upartial y e partial vpartial y:
u=3x-yimpliespartial upartial y=-1,
v=x+2yimpliespartial vpartial y=2

Passo 7

Aplicando a regra da cadeia para partial wpartial y:
partial wpartial y=partial wpartial ucdotpartial upartial y+partial wpartial vcdotpartial vpartial y
Substituindo:
partial wpartial y=2ucdot(-1)+3v^2cdot2=-2u+6v^2

Passo 8

Em termos de x e y:
-2u+6v^2=-2(3x-y)+6(x+2y)^2
Expandindo:
-2(3x-y)=-6x+2y,
6(x+2y)^2=6(x^2+4xy+4y^2)=6x^2+24xy+24y^2
Somando: partial wpartial y=6x^2-6x+24xy+2y+24y^2.

Resposta

partial wpartial x=3x^2+12xy+18x-6y+12y^2, partial wpartial y=6x^2+24xy-6x+2y+24y^2

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