Uma função
é diferenciavel
. Sabe-se que a derivada direcional
na direção do vetor
é igual a 3 e na direção do vetor
. Calcule:
a)
;
b)
, onde
tem a mesma direçĩo e sentido do vetor
.
a)
b)
Passo 1
A questão dá derivadas direcionais em dois vetores e pede o gradiente em (1,1) e outra derivada direcional. Vamos usar o fato de que, em um ponto, a derivada direcional de f na direção do vetor unitário
é
.
Passo 2
Seja
. Para o vetor
de módulo 5, o vetor unitário é
e a derivada direcional fornecida é 3. Logo
Multiplicando por 5 obtemos a equação
Passo 3
Para o vetor
também de módulo 5, o vetor unitário é
e a derivada direcional fornecida é -1. Assim
Multiplicando por 5 obtemos
Passo 4
Resolvendo o sistema
achamos
e
. Portanto
.
Passo 5
Para o vetor
na direção de
o vetor unitário é
e a derivada direcional é