Uma função z=f(x, y) é diferenciavel em X0=(1,1). Sabe-se que a derivada direcional em X0 na direção do vetor 3 i+4 j é igual a 3 e na direção do vetor 4 t-3 j e-1. Calcule:
a) nabla f(1,1);
b) partial fpartial u(1,1), onde u tem a mesma direçĩo e sentido do vetor i+j.

Passo 1

A questão dá derivadas direcionais em dois vetores e pede o gradiente em (1,1) e outra derivada direcional. Vamos usar o fato de que, em um ponto, a derivada direcional de f na direção do vetor unitário vec v é nabla fcdotvec v.

Passo 2

Seja nabla f(1,1)=(a,b). Para o vetor 3vec i+4vec j de módulo 5, o vetor unitário é
15(3,4)
e a derivada direcional fornecida é 3. Logo
(a,b)cdotl(tfrac35,tfrac45r)=3
Multiplicando por 5 obtemos a equação
3a+4b=15

Passo 3

Para o vetor 4vec i-3vec j também de módulo 5, o vetor unitário é
15(4,-3)
e a derivada direcional fornecida é -1. Assim
(a,b)cdotl(tfrac45,-tfrac35r)=-1
Multiplicando por 5 obtemos
4a-3b=-5

Passo 4

Resolvendo o sistema
3a+4b=15 4a-3b=-5
achamos a=1 e b=3. Portanto nabla f(1,1)=(1,3).

Passo 5

Para o vetor vec u na direção de vec i+vec j o vetor unitário é
1raiz2(1,1)
e a derivada direcional é
(1,3)cdotl(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r)=1+3raiz2=2raiz2

Resposta

nabla f(1,1)=(1,3) e partial fpartial vec u(1,1)=2raiz2.

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