A função gama é definida pela integral
gamma(alpha)=integral0^infty t^alpha-1 e^-t d t
para alpha>0. Mostre que
mathscrLt^alpha=gamma(alpha+1)s^alpha+1
para alpha>-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a transformada de Laplace de $ t^{\alpha} $ é igual a $ \frac{\gamma(\alpha+1)}{s^{\alpha+1}} $, onde a função gama $ \gamma(\alpha) $ é definida por uma integral. Então, o que a gente vai precisar entender aqui é o que é a transformada de Laplace, a função gama, e como elas se relacionam. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
f(t)
No nosso caso, $ f(t) = t^{\alpha} $. Então, precisamos calcular:
mathscrLf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir uma nova variável $ u = st $. Assim, $ t = \frac{u}{s} $ e $ dt = \frac{du}{s} $. Substituindo na integral, temos:
u = st

Passo 4

Vamos simplificar a expressão. Extraímos os fatores que não dependem de $ u $ fora da integral:
u
Perceba que a integral $ \int_{0}^{\infty} u^{\alpha} e^{-u} , du $ é exatamente a definição da função gama para $ \gamma(\alpha + 1) $:
mathscrLt^alpha = 1s^alpha+1 integral0^infty u^alpha e^-u , du

Passo 5

Substituindo a definição da função gama na expressão da transformada de Laplace, temos:
mathscrLt^alpha = gamma(alpha + 1)s^alpha + 1

Resposta

Portanto, mostramos que:
mathscrLt^alpha = gamma(alpha + 1)s^alpha + 1

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