A função gama é definida pela integral
para
. Mostre que
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a transformada de Laplace de $ t^{\alpha} $ é igual a $ \frac{\gamma(\alpha+1)}{s^{\alpha+1}} $, onde a função gama $ \gamma(\alpha) $ é definida por uma integral. Então, o que a gente vai precisar entender aqui é o que é a transformada de Laplace, a função gama, e como elas se relacionam. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
No nosso caso, $ f(t) = t^{\alpha} $. Então, precisamos calcular:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir uma nova variável $ u = st $. Assim, $ t = \frac{u}{s} $ e $ dt = \frac{du}{s} $. Substituindo na integral, temos:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão. Extraímos os fatores que não dependem de $ u $ fora da integral:
Perceba que a integral $ \int_{0}^{\infty} u^{\alpha} e^{-u} , du $ é exatamente a definição da função gama para $ \gamma(\alpha + 1) $:
Passo 5
Substituindo a definição da função gama na expressão da transformada de Laplace, temos:
Resposta
Portanto, mostramos que: