Calcule nos seguintes casos:
e .

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de w(x,y)=cos(u+v), onde u=x+y e v=√(xy). O conteúdo essencial é a regra da cadeia para funções compostas: para w=cos(u+v), usamos ∂w/∂x=−sin(u+v)·(∂u/∂x+∂v/∂x) e similar para ∂w/∂y.

Passo 2

Vamos calcular ∂w/∂x. Primeiro, ∂u/∂x=1. Em seguida, ∂v/∂x=∂(√(xy))/∂x= y/(2√(xy))=\tfrac12√{y/x}. Aplicando a regra da cadeia:
partial wpartial x=-sin(u+v)l(1+tfrac12raizyxr)

Passo 3

Agora calculamos ∂w/∂y. Temos ∂u/∂y=1 e ∂v/∂y=∂(√(xy))/∂y= x/(2√(xy))=\tfrac12√{x/y}. Usando a regra da cadeia:
partial wpartial y=-sin(u+v)l(1+tfrac12raizxyr)

Resposta

partial wpartial x=-sinl(x+y+raizxyr)l(1+tfrac12raiztfracyxr) e partial wpartial y=-sinl(x+y+raizxyr)l(1+tfrac12raiztfracxyr)

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