Seja f(x, y)=llx^3+y^3x^2+y^2 & (x, y) neq(0,0) ; 0 & (x, y)=(0,0)
Mostre que f não é diferenciâvel em (0,0). f é continua em (0,0) ?

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função
f(x,y)=x^3+y^3x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)
Queremos saber se f é contínua em (0,0) e se é diferenciável lá. Para isso vamos usar o conceito de limite em duas variáveis, o teste de continuidade e a definição de diferenciabilidade (existência de aproximação afim e resto pequeno).

Passo 2

Para verificar a continuidade em (0,0), analisamos
|f(x,y)-0|=|x^3+y^3x^2+y^2|<=|x|^3+|y|^3x^2+y^2
Como |x|^3+|y|^3 fica no máximo raizx^2+y^2^3= r^3 e x^2+y^2=r^2, segue
|f(x,y)|<=r^3r^2=rto0quando r=raizx^2+y^2to0
Logo f(x,y)to0=f(0,0) e a função é contínua.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais em (0,0). Para partial f/partial x:
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h=limhto0h^3/h^2h=limhto0hh=1
De modo análogo, partial f/partial y(0,0)=1.

Passo 4

O candidato a aproximação afim (mapa linear) em (0,0) é
L(x,y)=1cdot x+1cdot y=x+y

Passo 5

Para testar diferenciabilidade, precisamos ver se
R(x,y)=f(x,y)-L(x,y)
é um resto tal que R(x,y)/raizx^2+y^2to0. Tomando a reta y=x:
f(x,x)=2x^32x^2=x, L(x,x)=2x, R(x,x)=x-2x=-x
Então
R(x,x)raiz2x^2=-x|x|raiz2=-1raiz2notto0
Isso mostra que não existe o comportamento linear exigido e, portanto, f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

f é contínua em (0,0), mas não é diferenciável em (0,0).

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