Mostre que a funçlo f(x, y)=x^2 y+x y^2 é diferenciadvel no ponto (1,2) e determine f^prime(1,2).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função f(x,y)=x^2y+xy^2 é diferenciável no ponto (1,2) e determinar seu derivado (diferencial) f'(1,2). O conteúdo envolve diferenciabilidade de funções de duas variáveis e cálculo de derivadas parciais.

Passo 2

Como f(x,y) é um polinômio em x e y, sabemos que todas as suas derivadas parciais existem e são contínuas em R^2. Pelo teorema que garante diferenciabilidade sempre que as derivadas parciais existem e são contínuas, concluímos que f é diferenciável em (1,2).

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Para f(x,y)=x^2y+xy^2,
fx(x,y)=partialpartial x(x^2y)+partialpartial x(xy^2)=2xy+y^2,
fy(x,y)=partialpartial y(x^2y)+partialpartial y(xy^2)=x^2+2xy

Passo 4

Agora avaliamos em (1,2):
fx(1,2)=2cdot1cdot2+2^2=4+4=8,
fy(1,2)=1^2+2cdot1cdot2=1+4=5

Passo 5

Portanto, o diferencial de f em (1,2) é a forma linear
df(1,2)(h,k)=8,h+5,k
Em outras palavras,
f'(1,2)=(8,5).

Resposta

A função é diferenciável em (1,2) e f'(1,2)=(8,5), isto é, df(1,2)(h,k)=8h+5k

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