Mostre que a funçlo
é diferenciadvel no ponto
e determine
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é diferenciável no ponto
e determinar seu derivado (diferencial)
. O conteúdo envolve diferenciabilidade de funções de duas variáveis e cálculo de derivadas parciais.
Passo 2
Como
é um polinômio em
e
, sabemos que todas as suas derivadas parciais existem e são contínuas em
. Pelo teorema que garante diferenciabilidade sempre que as derivadas parciais existem e são contínuas, concluímos que
é diferenciável em
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Para ,
Para
Passo 4
Agora avaliamos em
:
Passo 5
Portanto, o diferencial de
em
é a forma linear
Em outras palavras,
Resposta
A função é diferenciável em (1,2) e
, isto é,