O pêndulo cicloidal de Huyghens consiste nima partícula oscilando num plano vertical ao longo de um arco de ciclóide com equações paramétricas x=R \theta+R \operatorname{sen} \theta, y=-R \cos \theta. Mostre que a lagrangiana deste sistema pode ser expressa na forma
L=2 m R^{2} \dot{\theta}^{2} \cos ^{2}(\theta / 2)+m g R \cos \theta. Fazendo a transformação de ponto u=\operatorname{sen}(\theta / 2), obtenha a lagrangiana e a equação de movimento em termos da coordenada u. Prove que o periodo de oscilação é igual a 2 \pi \sqrt{\frac{R}{g}}, independe portanto da amplitude.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que a questão pede e o que é dado):
  • O pêndulo cicloidal tem a partícula movendo-se num arco de ciclóide com equações paramétricas x=R\theta+R\operatorname{sen}\theta e y=-R\cos\theta.
  • A primeira tarefa é mostrar que a lagrangiana pode ser escrita como
L=2mR^{2}\dot{\theta}^{2}\cos^{2}\!\left(\frac{\theta}{2}\right)+mgR\cos\theta.
  • Em seguida, fazer a transformação de ponto u=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\theta}{2}\right) e obter a lagrangiana em termos de u e a equação de movimento correspondente.
  • Finalmente, provar que o período de oscilação é independente da amplitude e obter seu valor numérico em termos de R e g.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • As equações paramétricas x(\theta) e y(\theta) fornecem a posição espacial em função da coordenada \theta.
  • A massa da partícula é m e a aceleração da gravidade é g.
  • A lagrangiana indicada no enunciado já fornece uma forma que devemos justificar (ela corresponde a L=T-V, com T energia cinética e V energia potencial gravitacional).
  • A transformação de ponto pedida é u=\operatorname{sen}(\theta/2) (não depende do tempo explicitamente), portanto usaremos relações entre \dot{\theta} e \dot{u}.

Passo 2

Aula rápida sobre Lagrangiana aplicada aqui (o básico que precisamos usar):
  • Em mecânica lagrangiana, a lagrangiana é L=T-V, onde T é a energia cinética e V a energia potencial.
  • Para uma partícula de massa m no plano, T=\dfrac{1}{2}m(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}).
  • A energia potencial gravitacional é V=mgy se adotamos eixo vertical positivo para cima; como y é dado, usamos diretamente V=mgy.
  • Depois de encontrar L(\theta,\dot{\theta}) podemos aplicar transformações de coordenadas (aqui u=\operatorname{sen}(\theta/2)) e usar a regra da cadeia para \dot{\theta} em função de \dot{u}.
  • Para obter equação de movimento usamos a equação de Euler–Lagrange:
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q}=0,
onde aqui q será \theta ou u conforme a etapa.

Passo 3

Cálculo das velocidades \dot{x} e \dot{y} a partir das parametrizações (passo necessário para T):
  • Dado x=R\theta+R\operatorname{sen}\theta, derivando em relação ao tempo:
\dot{x}=R\dot{\theta}+R\cos\theta\,\dot{\theta}=R\dot{\theta}(1+\cos\theta).
  • Dado y=-R\cos\theta, derivando:
\dot{y}=R\operatorname{sen}\theta\,\dot{\theta}.
  • Observação trigonométrica útil: 1+\cos\theta=2\cos^{2}\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right) e \operatorname{sen}\theta=2\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\cos\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right).
  • Usaremos essas identidades para simplificar \dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}.

Passo 4

Cálculo de \dot{x}^{2}+\dot{y}^{2} e da energia cinética T:
  • Calculemos o quadrado da velocidade:
\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2} =R^{2}\dot{\theta}^{2}\big[(1+\cos\theta)^{2}+\operatorname{sen}^{2}\theta\big].
  • Expanda e simplifique usando \operatorname{sen}^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1:
(1+\cos\theta)^{2}+\operatorname{sen}^{2}\theta =1+2\cos\theta+\cos^{2}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta =2+2\cos\theta=2(1+\cos\theta).
  • Usando 1+\cos\theta=2\cos^{2}\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right) obtemos
\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}=R^{2}\dot{\theta}^{2}\,2(1+\cos\theta) =4R^{2}\dot{\theta}^{2}\cos^{2}\!\left(\frac{\theta}{2}\right).
  • Portanto a energia cinética é
T=\frac{1}{2}m(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}) =\frac{1}{2}m\cdot 4R^{2}\dot{\theta}^{2}\cos^{2}\!\left(\frac{\theta}{2}\right) =2mR^{2}\dot{\theta}^{2}\cos^{2}\!\left(\frac{\theta}{2}\right).

Passo 5

Cálculo da energia potencial V e construção da Lagrangiana L=T-V:
  • A coordenada vertical é y=-R\cos\theta. Tomando V=mgy (potencial com zero arbitrário), temos
V=mgy=m g(-R\cos\theta)=-m g R\cos\theta.
  • A lagrangiana é L=T-V, logo
L=2mR^{2}\dot{\theta}^{2}\cos^{2}\!\left(\frac{\theta}{2}\right)-\big(-m g R\cos\theta\big) =2mR^{2}\dot{\theta}^{2}\cos^{2}\!\left(\frac{\theta}{2}\right)+m g R\cos\theta.
  • Isso coincide com a forma que o enunciado pediu que mostrássemos, portanto a primeira parte está demonstrada.

Passo 6

Preparação para a transformação u=\operatorname{sen}(\theta/2): relacionando \dot{\theta} e \dot{u}:
  • Definimos u=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right).
  • Diferenciando em relação ao tempo:
\dot{u}=\frac{1}{2}\cos\!\left(\frac{\theta}{2}\right)\dot{\theta}.
  • Isolando \dot{\theta}:
\dot{\theta}=\frac{2\dot{u}}{\cos\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)}.
  • Observe que \cos^{2}\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)=1-u^{2}, que usaremos para eliminar \theta-dependências quando aparecerem.

Passo 7

Expressão da lagrangiana em termos de u e \dot{u}:
  • Começamos pela parte cinética da lagrangiana:
2mR^{2}\dot{\theta}^{2}\cos^{2}\!\left(\frac{\theta}{2}\right).
  • Substituindo \dot{\theta}=\dfrac{2\dot{u}}{\cos(\theta/2)} obtemos
\dot{\theta}^{2}\cos^{2}\!\left(\frac{\theta}{2}\right) =\left(\frac{2\dot{u}}{\cos(\theta/2)}\right)^{2}\cos^{2}\!\left(\frac{\theta}{2}\right) =4\dot{u}^{2}.
  • Portanto a energia cinética em função de u é
T=2mR^{2}\cdot 4\dot{u}^{2}=8mR^{2}\dot{u}^{2}.
  • Agora a parte potencial: usando a identidade \cos\theta=1-2\operatorname{sen}^{2}\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right) e u=\operatorname{sen}(\theta/2),
\cos\theta=1-2u^{2}.
  • Assim a parte potencial na lagrangiana é mgR\cos\theta = mgR(1-2u^{2}).
  • Juntando T e a parte potencial, a lagrangiana em coordenada u é
L(u,\dot{u})=8mR^{2}\dot{u}^{2}+mgR(1-2u^{2}).
  • Observação: o termo constante mgR corresponde apenas a uma constante aditiva na lagrangiana e não afeta as equações de movimento; mantivemo-lo aqui para completar a expressão.

Passo 8

Explicação didática sobre o que fizemos na transformação de ponto:
  • A transformação u=\operatorname{sen}(\theta/2) é uma mudança de coordenada suave (não depende de t explicitamente), então a forma lagrangiana se transforma aplicando a regra da cadeia para \dot{\theta}.
  • A vantagem dessa transformação é que a lagrangiana resultante é quadrática em u e \dot{u} (um caso de oscilador harmônico), facilitando a derivação da equação de movimento.

Passo 9

Derivação da equação de movimento usando Euler–Lagrange em u:
  • Escrevemos a lagrangiana conveniente (podemos desprezar a constante mgR pois não altera as equações):
L_{\text{ef}}(u,\dot{u})=8mR^{2}\dot{u}^{2}-2mgR\,u^{2}.
  • Calculemos os termos da equação de Euler–Lagrange:
\frac{\partial L_{\text{ef}}}{\partial \dot{u}}=16mR^{2}\dot{u}, \qquad \frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L_{\text{ef}}}{\partial \dot{u}}\right)=16mR^{2}\ddot{u},
\frac{\partial L_{\text{ef}}}{\partial u}=-4mgR\,u.
  • Aplicando Euler–Lagrange:
16mR^{2}\ddot{u}-(-4mgR\,u)=0 \quad\Longrightarrow\quad 16mR^{2}\ddot{u}+4mgR\,u=0.
  • Simplificando (dividindo por 4mR):
4R\,\ddot{u}+g\,u=0 \quad\Longrightarrow\quad \ddot{u}+\frac{g}{4R}\,u=0.
  • Conclusão: a variável u satisfaz a equação de um oscilador harmônico linear com frequência angular
\omega^{2}=\frac{g}{4R}.

Passo 10

Cálculo do período e observação sobre independência da amplitude:
  • Para um oscilador harmônico linear da forma \ddot{u}+\omega^{2}u=0, o período é
T=\frac{2\pi}{\omega}.
  • Aqui \omega=\sqrt{\dfrac{g}{4R}}, logo
T=2\pi\sqrt{\frac{1}{\omega^{2}}} =2\pi\sqrt{\frac{4R}{g}} =4\pi\sqrt{\frac{R}{g}}.
  • Observação física: a equação é linear e homogênea em u, logo a frequência \omega não depende da amplitude; portanto o período resultante é independente da amplitude (isso é a propriedade de isocronismo do pêndulo cicloidal).
  • Nota técnica: a manipulação mostrou que a transformação leva a um oscilador harmônico exato em u, o que é a razão matemática por trás da independência do período em relação à amplitude.

Resposta

L(\theta,\dot{\theta})=2mR^{2}\dot{\theta}^{2}\cos^{2}\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)+mgR\cos\theta
L(u,\dot{u})=8mR^{2}\dot{u}^{2}+mgR(1-2u^{2}) e equação de movimento \ddot{u}+\dfrac{g}{4R}u=0
Período T=4\pi\sqrt{\dfrac{R}{g}} (independente da amplitude)

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