O pêndulo cicloidal de Huyghens consiste nima partícula oscilando num plano vertical ao longo de um arco de ciclóide com equações paramétricas
. Mostre que a lagrangiana deste sistema pode ser expressa na forma
. Fazendo a transformação de ponto
, obtenha a lagrangiana e a equação de movimento em termos da coordenada u. Prove que o periodo de oscilação é igual a
, independe portanto da amplitude.
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que a questão pede e o que é dado):
- O pêndulo cicloidal tem a partícula movendo-se num arco de ciclóide com equações paramétricas
e . - A primeira tarefa é mostrar que a lagrangiana pode ser escrita como
- Em seguida, fazer a transformação de ponto
e obter a lagrangiana em termos de e a equação de movimento correspondente. - Finalmente, provar que o período de oscilação é independente da amplitude e obter seu valor numérico em termos de
e .
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- As equações paramétricas
e fornecem a posição espacial em função da coordenada . - A massa da partícula é
e a aceleração da gravidade é . - A lagrangiana indicada no enunciado já fornece uma forma que devemos justificar (ela corresponde a
, com energia cinética e energia potencial gravitacional). - A transformação de ponto pedida é
(não depende do tempo explicitamente), portanto usaremos relações entre e .
Passo 2
Aula rápida sobre Lagrangiana aplicada aqui (o básico que precisamos usar):
- Em mecânica lagrangiana, a lagrangiana é
, onde é a energia cinética e a energia potencial. - Para uma partícula de massa
no plano, . - A energia potencial gravitacional é
se adotamos eixo vertical positivo para cima; como é dado, usamos diretamente . - Depois de encontrar
podemos aplicar transformações de coordenadas (aqui ) e usar a regra da cadeia para em função de . - Para obter equação de movimento usamos a equação de Euler–Lagrange:
onde aqui
será
ou
conforme a etapa.
Passo 3
Cálculo das velocidades
e
a partir das parametrizações (passo necessário para
):
- Dado
, derivando em relação ao tempo:
- Dado
, derivando:
- Observação trigonométrica útil:
e . - Usaremos essas identidades para simplificar
.
Passo 4
Cálculo de
e da energia cinética
:
- Calculemos o quadrado da velocidade:
- Expanda e simplifique usando
:
- Usando
obtemos
- Portanto a energia cinética é
Passo 5
Cálculo da energia potencial
e construção da Lagrangiana
:
- A coordenada vertical é
. Tomando (potencial com zero arbitrário), temos
- A lagrangiana é
, logo
- Isso coincide com a forma que o enunciado pediu que mostrássemos, portanto a primeira parte está demonstrada.
Passo 6
Preparação para a transformação
: relacionando
e
:
- Definimos
. - Diferenciando em relação ao tempo:
- Isolando
:
- Observe que
, que usaremos para eliminar -dependências quando aparecerem.
Passo 7
Expressão da lagrangiana em termos de
e
:
- Começamos pela parte cinética da lagrangiana:
- Substituindo
obtemos
- Portanto a energia cinética em função de
é
- Agora a parte potencial: usando a identidade
e ,
- Assim a parte potencial na lagrangiana é
. - Juntando T e a parte potencial, a lagrangiana em coordenada
é
- Observação: o termo constante
corresponde apenas a uma constante aditiva na lagrangiana e não afeta as equações de movimento; mantivemo-lo aqui para completar a expressão.
Passo 8
Explicação didática sobre o que fizemos na transformação de ponto:
- A transformação
é uma mudança de coordenada suave (não depende de explicitamente), então a forma lagrangiana se transforma aplicando a regra da cadeia para . - A vantagem dessa transformação é que a lagrangiana resultante é quadrática em
e (um caso de oscilador harmônico), facilitando a derivação da equação de movimento.
Passo 9
Derivação da equação de movimento usando Euler–Lagrange em
:
- Escrevemos a lagrangiana conveniente (podemos desprezar a constante
pois não altera as equações):
- Calculemos os termos da equação de Euler–Lagrange:
- Aplicando Euler–Lagrange:
- Simplificando (dividindo por
):
- Conclusão: a variável
satisfaz a equação de um oscilador harmônico linear com frequência angular
Passo 10
Cálculo do período e observação sobre independência da amplitude:
- Para um oscilador harmônico linear da forma
, o período é
- Aqui
, logo
- Observação física: a equação é linear e homogênea em
, logo a frequência não depende da amplitude; portanto o período resultante é independente da amplitude (isso é a propriedade de isocronismo do pêndulo cicloidal). - Nota técnica: a manipulação mostrou que a transformação leva a um oscilador harmônico exato em
, o que é a razão matemática por trás da independência do período em relação à amplitude.
Resposta
Período