Calcule as seguintes combinações lineares:
3 p-2 q em \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}), onde p(x)=1-3 x^{2} e q(x)=3-x+2 x^{2}-3 x^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a combinação linear de polinômios 3p - 2q em \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}), onde p(x) = 1 - 3x^2 e q(x) = 3 - x + 2x^2 - 3x^3.
O conteúdo aqui é espaço vetorial de polinômios, usando multiplicação escalar e adição de polinômios.

Passo 2

Primeiro, aplicamos o escalar 3 em p(x) e -2 em q(x):
3\,p(x) = 3\,(1 - 3x^2) = 3 - 9x^2,
-2\,q(x) = -2\,(3 - x + 2x^2 - 3x^3) = -6 + 2x - 4x^2 + 6x^3.

Passo 3

Agora somamos termo a termo os resultados de 3p(x) e -2q(x), agrupando os termos semelhantes:
- Coeficiente constante: 3 + (-6) = -3
- Coeficiente de x: 0 + 2 = 2
- Coeficiente de x^2: -9 + (-4) = -13
- Coeficiente de x^3: 0 + 6 = 6
Assim, o polinômio resultante é
(3p - 2q)(x) = -3 + 2x - 13x^2 + 6x^3.

Resposta

3p(x) - 2q(x) = 6x^3 - 13x^2 + 2x - 3.

Exercícios relacionados