Qual é o subespaço gerado pelas matrizes
B_{1}=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right], \quad B_{2}=\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right] \quad \text { e } B_{3}=\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]
em M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) ?

Passo 1

O enunciado pede o subespaço de M_{2\times2}(\mathbb{R}) gerado pelas matrizes
B_{1}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad B_{2}=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad B_{3}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
Estamos trabalhando com noções de combinação linear e subespaços de espaços vetoriais.

Passo 2

Tomamos uma combinação linear genérica
\alpha B_{1} + \beta B_{2} + \gamma B_{3} = \alpha\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix} + \gamma\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\alpha & \beta \\\\ 0 & \gamma\end{pmatrix},
onde \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}.

Passo 3

Portanto todo elemento do subespaço gerado é uma matriz da forma
\begin{pmatrix} a & b \\[4pt] 0 & c \end{pmatrix},
com a,b,c\in\mathbb{R}. Esse é exatamente o conjunto das matrizes triangulares superiores em M_{2\times2}(\mathbb{R}).]

Resposta

O subespaço gerado é
\bigl\{\begin{pmatrix}a&b\\\ 0&c\end{pmatrix} : a,b,c\in\mathbb{R}\bigr\},
isto é, o espaço das matrizes triangulares superiores de ordem 2.

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