Calcule os seguintes limites:
\lim _{N \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{N} \frac{\ln \left(1+\frac{i}{N}\right)}{N}

Passo 1

O enunciado pede o limite quando N\to\infty da soma
S_N=\sum_{i=1}^{N}\frac{\ln\!\left(1+\frac{i}{N}\right)}{N}.
Informações dadas: para cada N temos N termos, o i-ésimo termo é \frac{\ln\!\left(1+\frac{i}{N}\right)}{N}. A pergunta é: qual é
\lim_{N\to\infty} S_N \;?

Passo 2

Vamos interpretar a soma como uma soma de Riemann. Defino a função
f(x)=\ln(1+x).
Considere o intervalo [0,1] e uma partição uniforme com pontos x_i=\frac{i}{N} para i=0,1,\dots,N. O comprimento de cada subintervalo é
\Delta x=\frac{1}{N}.
A soma dada pode ser escrita como
S_N=\sum_{i=1}^{N} f\!\left(\frac{i}{N}\right)\Delta x,
ou seja, é a soma de Riemann usando os pontos à direita de cada subintervalo (right Riemann sum).

Passo 3

Justificativa teórica (curtinha e direta): f(x)=\ln(1+x) é contínua em [0,1] porque a função logarítmica é contínua para argumentos positivos e 1+x>0 no intervalo. Pelo teorema das somas de Riemann, se f é contínua em [0,1] então as somas de Riemann convergem para a integral definida quando o diâmetro da partição tende a zero. Aqui \Delta x=1/N\to0 quando N\to\infty. Portanto
\lim_{N\to\infty} S_N = \int_{0}^{1} \ln(1+x)\,dx.

Passo 4

Agora calculemos a integral
I=\int_{0}^{1}\ln(1+x)\,dx.
Uma forma simples é fazer a substituição t=1+x. Então dt=dx. Quando x=0 temos t=1; quando x=1 temos t=2. Assim
I=\int_{1}^{2}\ln t\,dt.

Passo 5

Calcular \int \ln t\,dt. Usamos integração por partes: escolha u=\ln t e dv=dt. Então du=\frac{1}{t}\,dt e v=t. A fórmula de integração por partes é \int u\,dv = uv - \int v\,du. Aplicando:
\int \ln t\,dt = t\ln t - \int t\cdot\frac{1}{t}\,dt = t\ln t - \int 1\,dt = t\ln t - t + C.
Portanto, a integral definida é
I=\bigl[t\ln t - t\bigr]_{1}^{2} = \bigl(2\ln 2 - 2\bigr) - \bigl(1\ln 1 - 1\bigr).
Como \ln 1 = 0, obtemos
I = 2\ln 2 - 2 - (0 - 1) = 2\ln 2 - 1.

Passo 6

Conclusão: a soma de Riemann converge para a integral calculada, então
\lim_{N\to\infty}\sum_{i=1}^{N}\frac{\ln\!\left(1+\frac{i}{N}\right)}{N}=2\ln 2 - 1.
(se quiser uma aproximação numérica rápida: 2\ln 2 - 1 \approx 0,38629, mas o resultado exato é 2\ln 2 - 1.)

Resposta

2\ln 2 - 1

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