Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
da soma
Informações dadas: para cada
temos
termos, o
-ésimo termo é
. A pergunta é: qual é
Passo 2
Vamos interpretar a soma como uma soma de Riemann. Defino a função
Considere o intervalo
e uma partição uniforme com pontos
para
. O comprimento de cada subintervalo é
A soma dada pode ser escrita como
ou seja, é a soma de Riemann usando os pontos à direita de cada subintervalo (right Riemann sum).
Passo 3
Justificativa teórica (curtinha e direta):
é contínua em
porque a função logarítmica é contínua para argumentos positivos e
no intervalo. Pelo teorema das somas de Riemann, se
é contínua em
então as somas de Riemann convergem para a integral definida quando o diâmetro da partição tende a zero. Aqui
quando
. Portanto
Passo 4
Agora calculemos a integral
Uma forma simples é fazer a substituição
. Então
. Quando
temos
; quando
temos
. Assim
Passo 5
Calcular
. Usamos integração por partes: escolha
e
. Então
e
. A fórmula de integração por partes é
. Aplicando:
Portanto, a integral definida é
Como
, obtemos
Passo 6
Conclusão: a soma de Riemann converge para a integral calculada, então
(se quiser uma aproximação numérica rápida:
, mas o resultado exato é
.)