Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- A soma é sobre
. - Cada termo é
. - Queremos o limite quando
.
Passo 2
Vamos interpretar a soma como uma soma de Riemann (uma aproximação de integral). Para isso defino
Então cada termo da soma pode ser escrito como
Logo a soma é a soma à direita (right Riemann sum) para a função
no intervalo
. Como
é contínua em
(não há descontinuidade aí),
é contínua em
e a soma converge para a integral correspondente. Portanto
Passo 3
Agora calculamos a integral
Faço a substituição linear
Então
Os limites em
transformam-se em
:
Portanto a integral vira
Passo 4
Recordando a primitiva de
: escrevendo
e fazendo
(logo
), obtemos
Aplicando essa primitiva na integral definida:
Passo 5
Calculo os cossenos (valores do círculo trigonométrico):
Então
Voltando ao fator fora da integral: