Calcule os seguintes limites:
\lim _{N \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{N} \frac{\tan \left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi i}{6 N}\right)}{N}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{N\to\infty}\sum_{i=1}^{N}\frac{\tan\!\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi i}{6N}\right)}{N}.
Informações dadas:
  • A soma é sobre i=1,\dots,N.
  • Cada termo é \dfrac{1}{N}\tan\!\left(\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi i}{6N}\right).
  • Queremos o limite quando N\to\infty.

Passo 2

Vamos interpretar a soma como uma soma de Riemann (uma aproximação de integral). Para isso defino
x_i=\frac{i}{N}\quad\text{e}\quad \Delta x=\frac{1}{N}.
Então cada termo da soma pode ser escrito como
\frac{\tan\!\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi i}{6N}\right)}{N} = \tan\!\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}x_i\right)\Delta x.
Logo a soma é a soma à direita (right Riemann sum) para a função
f(x)=\tan\!\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}x\right)
no intervalo x\in[0,1]. Como \tan(u) é contínua em [\,\pi/6,\pi/3\,] (não há descontinuidade aí), f é contínua em [0,1] e a soma converge para a integral correspondente. Portanto
\lim_{N\to\infty}\sum_{i=1}^{N}\frac{\tan\!\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi i}{6N}\right)}{N} = \int_{0}^{1}\tan\!\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}x\right)\,dx.

Passo 3

Agora calculamos a integral
\int_{0}^{1}\tan\!\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}x\right)\,dx.
Faço a substituição linear
u=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}x.
Então
du=\frac{\pi}{6}\,dx\quad\Rightarrow\quad dx=\frac{6}{\pi}\,du.
Os limites em x transformam-se em u:
x=0\mapsto u=\frac{\pi}{6},\qquad x=1\mapsto u=\frac{\pi}{3}.
Portanto a integral vira
\int_{0}^{1}\tan\!\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}x\right)\,dx = \frac{6}{\pi}\int_{\pi/6}^{\pi/3}\tan u\,du.

Passo 4

Recordando a primitiva de \tan u: escrevendo \tan u=\dfrac{\sin u}{\cos u} e fazendo w=\cos u (logo dw=-\sin u\,du), obtemos
\int \tan u\,du=-\ln\bigl|\cos u\bigr|+C.
Aplicando essa primitiva na integral definida:
\int_{\pi/6}^{\pi/3}\tan u\,du = \bigl[-\ln\bigl|\cos u\bigr|\bigr]_{\pi/6}^{\pi/3} = -\ln\bigl|\cos\frac{\pi}{3}\bigr|+\ln\bigl|\cos\frac{\pi}{6}\bigr|.

Passo 5

Calculo os cossenos (valores do círculo trigonométrico):
\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2},\qquad \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Então
-\ln\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)+\ln\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr) =\ln\!\left(\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}\right) =\ln\!\bigl(\sqrt{3}\bigr) =\tfrac{1}{2}\ln 3.
Voltando ao fator fora da integral:
\frac{6}{\pi}\cdot\frac{1}{2}\ln 3=\frac{3}{\pi}\ln 3.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{\pi}\ln 3

Exercícios relacionados